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potendosi scrivere: 



S a S b = S «(o> E a % S a«» ' 



contiene come parametri essenziali gli r parametri essenziali, da cui dipende 

 la K^ù ■ 



In ciò che precede s' intende bene che ci si deve riferire a convenienti 

 intorni di S a «» , ma la proprietà che, componendo due qualsivogliano delle 

 (1), si ottenga una trasformazione, contenente soltanto r parametri essenziali, 

 resta nondimeno, senza limitazione alcuna, stabilita. Posto infatti: 



(10) x' i = f i {f{x,a),b) = y i (x ,a,b) (i= 1, 2 ,...,») , 



se con fi s' indica la caratteristica della matrice : 





?F„ 



"Sai Da, 



Da, 



DF, df 3 



DF„ 





Da*- 



Ì)F, DF 2 



1F„ 







l)Fi DF2 



DF_n 







con ju., la caratteristica della matrice analoga, ottenuta aggregando alle F, 

 tutte le loro derivate prime rapporto alle x , con jw 8 la caratteristica della 

 matrice ottenuta, aggregando tutte le derivate prime e seconde rispetto allea?, 

 e così via, il numero dei parametri essenziali nell' insieme di trasformazioni 

 (10) coincide col massimo valore s = 2r, che si può raggiungere, percor- 

 rendo la successione : 



f i ì r^--n t ^....^2r (»); 



e se s = r mentre le a e le b variano in certi intorni delle a (0) , ciò dovrà 

 verificarsi sempre. 



Con quanto precede resta stabilito il seguente teorema, al quale in 

 principio abbiamo accennato: 



Se l'insieme dato co r di trasformazioni 



(1) x'i = fi(x,a) {i— 1 , 2 , ... ,n) 



(') Cfr. Bianchi, Lesioni sulla teoria dei gruppi finiti, continui di trasformazioni. 

 Pisa, Ed. Spoerri, 1903. 



