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è tale, che la trasformazione composta con due qualsivogliano di esso 

 contiene soltanto r parametri essenziali: 



a) le x ', come funzioni dei parametri, soddisfano ad equazioni 

 della forma: 



lx' h te? ' ■ ; , (h = 1 , 2 , ... , n\ 



« ?t-^wf) u= i,2,. ..;,)' 



in cui il determinante delle Vp»(«) non è identicamente nullo, e le £ e %sf) 

 non possono soddisfare a nessun sistema di equazioni della forma: 



Xg p Z ph (x') = 0 (A = l,2,...,«) 



coi coefficienti g P indipendenti dalle x' e non tutti nulli; 



b) essendo S a «» una trasformazione dell'insieme, corrispondente a 

 valori dei parametri che non annullano il determinante suddetto, l'insieme 

 medesimo viene, per mezzo di S fl «», trasformato in se stesso. 



Viceversa, se le x', come funzioni dei parametri, soddisfano ad equa- 

 zioni del tipo (3), ed esiste una trasformazione come S a(0 ) , che gode delle 

 dette proprietà, la trasformazione composta con due qualsivogliano delle 

 (1), contiene soltanto r parametri essenziali. 



2. Le due condizioni contemplate nel precedente teorema sono eviden- 

 temente necessarie, affinchè l' insieme dato di trasformazioni possa costituire 

 un gruppo. 



Vogliamo ora far vedere che queste condizioni, insieme coli' altra, pari- 

 menti necessaria, che esista una trasformazione S a (i> , corrispondente a valori 

 dei parametri che non annullano il determinante delle ippica), per la quale 

 moltiplicando le trasformazioni dell' insieme (1), si ottengano trasformazioni 

 dello stesso insieme, sono anche al nostro scopo sufficienti. 



Riguardo all' ultima condizione è da osservare che non fa d'uopo distin- 

 guere in quale ordine la S fl( i) s'intenda composta colle trasformazioni (1), 

 dacché essa trasforma in sè V insieme di tali trasformazioni, e si ha quindi : 



almeno finché la S a e la S fl / variano in convenienti intorni di S a <i), come 

 a noi occorre. Questo fatto che è senz'altro espresso dalla seconda condizione, 

 ove in particolare la S a «» coincida colla S fl( i), è in ogni caso conseguenza 

 delle prime due condizioni, le quali fanno sì che la trasformazione composta 

 con due qualsivogliano delle (1) contenga soltanto r parametri essenziali, e 

 quindi che la S a( i), come ogni altra trasformazione, i cui parametri non 

 annullino il solito determinante, trasformi in sè (cfr. teor. prec.) l'insieme 

 dato. 



