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Ciò posto, dalla prima delle condizioni ora dette, tenendo conto che 

 nell'insieme (1) gli r parametri sono essenziali, deduciamo, come è noto, 

 che le r trasformazioni infinitesimali : 



V^IWé (<? = 1,2,. ..,/•) 



h=l àOCh 



sono linearmente indipendenti ed atte a generare un gruppo G> ad r para- 

 metri essenziali. Ogni trasformazione dell' insieme dato, nell' intorno di una 

 di esse, corrispondente a valori dei parametri, che non annullano il deter- 

 minante delle t// pft (<z), si otterrà facendo seguire a questa una trasformazione 

 di detto gruppo, presa in un intorno della identica. 



Si considerino ora due trasformazioni qualsivogliano nell'intorno della 



S a (i) : 



ove E^ , E,, indicano due determinate trasformazioni di G> , e si formi il 

 prodotto : 



( U ) S a S b = S «(D E ,u S «(D E » • 



Dalle prime due condizioni, che abbiamo posto, segue, in forza del risultato 

 del § 1, che la trasformazione composta con due qualsivogliano delle (1) 

 contiene soltanto r parametri essenziali, e l' insieme dato viene quindi, per 

 la prima parte del risultato medesimo, trasformato in sè da ogni trasforma- 

 zione di esso, i cui parametri non annullino il solito determinante, in par- 

 ticolare dalla S a <i) , cosicché si potrà scrivere : 



donde : 



e poiché il gruppo delle sj i} S a coincide col gruppo G r , sarà : 

 ossia : 



per modo che la (11) si cambia nell'altra 

 e posto: 



8 a S £ = S lu V E " 



V E „= E , 



