si ha ancora 

 In fine se : 

 risulta : 

 cioè : 



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S a S b = S a< 1 > \ 



S a S b — S a< 1 ) S a(!> S c 



8 a S b = S a< 1 > S c 



la quale, per la terza delle poste condizioni, ci dice che la S a S b appartiene 

 all'insieme dato: questo costituisce dunque un gruppo. 



Riassumendo possiamo ora enunciare il seguente teorema: 

 Affinchè l'insieme oo r di trasformazioni: 



x'i^ fiix^a) (*.= 1 , 2 , ... ., n) 



costituisca un gruppo è necessario e sufficiente: 



a) che le x', come funzioni dei parametri, soddisfino ad equazioni 

 della forma: 



Ix'h & k , „ . ,x /A — 1 , 2 , .... x n\ 



in cui il determinante delle *p ? n(a) non sia identicamente nullo, e le 

 £ ?h (x') non soddisfino a nessun sistema di equazioni della forma: 



f>P? P ft(aO = 0 (A = 1,2,..,,») 



P=i 



coi coefficienti g p indipendenti dalle x' e non tutti nulli; 



b) che esista nell'insieme una trasformazione S a(0 ) , i cui parametri 

 non annullino il determinante delle xp p n{a), per mezzo della quale l'insieme 

 medesimo venga trasformato in se stesso; 



c) che esista una trasformazione, distinta o no dalla S fl(0 ), e cor- 

 rispondente ancora a valori dei parametri, che non annullano il detto 

 determinante, per la quale moltiplicando le trasformazioni dell'insieme, 

 si ottengano trasformazioni che ad esso appartengono. 



Osservazione. — La seconda e terza condizione sono in particolare 

 soddisfatte, se, per valori dei parametri, che non annullano il solito deter- 

 minante, esiste fra le (1) la trasformazione identica: si ha allora il primo 

 teorema fondamentale di Lie. 



