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Premetto qui in un primo articolo alcuni nuovi teoremi sulle equazioni 

 integrali, che trovano applicazione nell'articolo II, nel quale mi occupo 

 esclusivamente del detto problema di fisica-matematica. 



Altri problemi analoghi della fisica-matematica possono risolversi ripe- 

 tendo, senza sostanziali mutamenti, i ragionamenti contenuti nell'articolo II 

 della presente Nota. Citerò ad es. (essendo oramai risoluto il problema del- 

 l'equilibrio dei corpi elastici isotropi per dati spostamenti in superficie) il 

 problema delle vibrazioni di un corpo elastico isotropo, quando i punti della 

 superficie limite sono in riposo, del quale mi occupai già nella mia antica 

 Memoria: Sulle equazioni del moto dei corpi elastici ( x ) e del quale pure 

 si occupò due anni or sono il sig. Korn ( 2 ). 



Art. I. — Teoremi sulle equazioni integrali. 

 1. È noto ( 5 ) che, se la funzione caratteristica K(s , t) ha la forma: 



m 



(1) K(s , t) = £, Ms) *,(*) , 



1 



l'espressione: 



(2) 6(t) = x (t) - % VV(0 f X(r) %(r) dr (n < m) 



i r J a 



con x(t) funzione arbitraria, ma atta all' integrazione nel campo (a , b), è 

 una soluzione dell'equazione : 



(3) f & K(s , t) 6(t) dt = 0. 



J a 



Di guisa che si avrà: se l'equazione (3) non ammette soluzione alcuna 

 diversa da zero ( 4 ), è impossibile esprimere K(s , t) mediante una somma 

 di prodotti della forma /\,(s) %4t) , ossia ( 5 ) la serie delle costanti della 

 funzione caratteristica K(s , t) è certamente infinita. 



Possiamo anzi enunciare il seguente risultato : si sappia in un modo qual- 

 siasi che le funzioni ortogonali ip l ,ìp 2 , . . . godano tutte di certe mede- 

 sime proprietà di continuità e di derivabilità nel campo (a , b); se il loro 



(».) Memorie della R. Acc. delle Se. di Torino, ser. II, t. XLV. 



( 8 ) Sur les vibrations d'un corps élastique dont la surface est en repos (Comptes 

 rendus, 26 février 1906); Die Eigenschwingungen eines elastichen Kòrpers mit ruhender 

 Oberflàche (Sitzungsberichte der mathem.-phys. Klasse der Kgl. Bayer. Akademie der 

 Wissenschaften, Bd. XXXVI, 1906, Heft II). 



( 3 ) Lanricella, Sopra alcune equazioni integrali, § 6 (Rendiconti della R. Acc. dei 

 Lincei, ser. 5 a , voi. XVII, 1° sem.). Le notazioni adottate nel presente articolo sono quelle 

 introdotte nella Nota teste citata. 



( 4 ) Cioè, servendosi della denominazione introdotta da Hilbert, se la funzione carat- 

 teristica K(s , t) è chiusa. 



( E ) Lauricella, loc. cit., § 3i . 



