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numero è finito, si potrà scegliere la funzione %{t) in modo tale che la cor- 

 rispondente funzione d(t), data dalla (2), sia non identicamente nulla e goda 

 delle medesime proprietà di continuità e di derivabilità delle %p l , tp 2 , . . . ; 

 di modo che se l'equazione (3) non ammette soluzione alcuna diversa da 

 zero, godente delle medesime proprietà di continuità e di derivabilità 

 delle i/fi , ^/j , ... , è impossibile esprimere K(s , t) mediante una somma 



di prodotti della forma f^s) %^{t) , ossia la serie 



2. A complemento di un noto teorema di Schmidt sulla sviluppabilità 

 in serie ('), si può enunciare il seguente altro: se si ha: 



g(s) = CK(s,t)h(t)di 



•s a 



e se la funzione \h(t)[* è atta alV integrazione nel campo (a , b), la serie 



J_ il {j\{t) 9>v(0 dt j 



sarà convergente. 



Infatti, rammentando le forinole: 



£%(t) f,(t) dt = \ l 0 II ^ V v ' (V) fs(t) di = K £g(t) dt, 

 e ponendo: 



dv == f g(t) g>v(t) dt , 



J a 



si ha per i qualsiasi : 



0 < £ j h{t) — d * ^ y^dt = 



= P] h{t) ( 2 dt + f H di — 2 d, Ch{t) f,(t) dt 



= C]h(t)\ 2 dt — X,tidl . 



Donde risulta il teorema enunciato. 



3. Sussiste ancora il seguente teorema di derivazione per serie: se 

 si ha: 



(4) g(s) = f K(s , t) h(t) dt 



con h (t) funzione atta all'integrazione nel campo {a , b) , se all'integrale 

 al secondo membro della (4) è applicabile i volte la derivazione sotto il 



(•) Zur Theorie der linearen uni nichtlinearen Integralgleichungen § 16 (Math. 

 Ann., Bd. LXIII, H. 4). 



