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3. La teoria delle equazioni integrali a funzione caratteristica simme- 

 trica ci dà (') : esiste una serie finita o infinita di valori reali j crescenti 

 in valore assoluto , del parametro k: 



(5) k\ , k% , . . . , 



e una corrispondente serie di funzioni: 



(5) ' *?),••■* 

 tali che: 



(6) > V) — kfj^? > i 5 * > V) P»(? > Ì) d(t = 0, 



C , ( 1 se jw = r , 



/ valori assoluti di k 1 , k 2 , . . . , weZ caso tf^e wow siano in numero 

 finito,, hanno il solo punto limite k = co . 

 Dalla (6) segue per le funzioni p4% , *)) '• 



L (nei punti di er) J* p^ = ks, p^(§ , r]) , 

 j (nei punti di s) jo v = = 0.; 



e da queste si ha, in virtù di un noto risultato ( 2 ), che i valori (detti ec- 

 cezionali) kx , k s , sono tutti positivi. 



4. Vogliamo ora dimostrare che la serie (5) dei valori eccezionali è 

 infinita. 



Per fare ciò, osserveremo anzitutto che, in virtù della (6), le funzioni 

 (dette soluzioni eccezionali) M% - v) sono tutte certamente finite e continue 

 insieme alle loro derivate del primo ordine. D'altra parte l'equazione inte- 

 grale : 



(9) fGHèW; $, V )0(?,r)')d<r = 0 



non ammette soluzione alcuna diversa da zero, finita e continua insieme alle 

 sue derivate del primo ordine. Infatti si ha dalla (9), in virtù del noto 

 teorema di Poisson, 



(nei punti di a) J* f G(£' , if ; £ , v) > *f) da = e ($ . v) = 0 5 



J a 



donde, in forza del secondo teorema al § 1 dell'art. I, risulta la proposizione 

 che volevamo dimostrare ( 3 ). 



0) Schmidt, loc. cit., Zweites Kapitel. 



(*) Mia cit. Mem. sulle placche elastiche, art. II, § 1. 



( 8 ) Facendo uso del teorema di Poisson nella forma di Stekloff {Sur certaines éga- 

 lités générales, ecc., Mémoires de l'Ac. Imp. des Se. de St.-Pétersbourg, voi. XV, n. 7), 

 potevamo limitarci a considerare la sola continuità delle p v (£ , y). 



