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Finalmente, se si osserva che le derivate della funzione G(£ r ,i/ ; 

 del secondo ordine rispetto a f e a t] si comportano come la funzione log n, 

 e se si applica il teorema al § 3 dell'art. I, avremo: alla serie (10) è 

 applicabile due volte il teorema di derivazione per serie rispetto a S e 

 rispetto a jj, e le serie derivate convergono assolutamente ed uniforme- 

 mente nel campo a (i punti di s inclusi). 



7. Avuto riguardo al fatto che nei punti di s la funzione p s e la 

 sua derivata normale hanno valori nulli, si può scrivere, come è noto, 



(nei punti di a) pfè , rj) = ~ log r . J 2 p^ da ; 



per cui, se si indica con T v (/) una funzione della nuova variabile t , dipen- 

 dente da A„ e indipendente da ? e da e tale che sia sempre |T,(/)| <. I, 

 avremo per m e per q qualsiasi: 



m+q 1 r *"±2 _ 



7, d, \% T,(0 , rj) = — log r ^ ?s{t) J'fr da . 



mZ\ 6™Ja m +i 



Questa ci dà, in virtù della nota disuguaglianza di Schwarz, 



im+q \2 r/lop-r\ 2 C ? — ) 2 



] & fa t,(o , 17) | ^-jj^r) d °-j\ 1> * ^ T,(o 4 2 i?v | ^ ; 



e poiché: 



(12) J • J2 P* da = X^ ^ 4 ^ N ^ = ^ J ^ ' 

 risulterà : 



J I, rf, ^ T,(*) ^ , ,) | < J^-^) ^ % % di . 



Da questa formola, in virtù della convergenza della serie (11), segue 

 facilmente che la serie: 



è convergente uniformemente nel campo di variabilità formato da a e 

 dal campo di variabilità della t. 



Come conseguenza di questa proposizione, in virtù della (6), si ha (') : 



(13) I -f= T„(*) ^(£ , rj) = f G(r*/ ; ? , v) I ^ Ut)p«{? , ^ • 



(') I risultati fin qui stabiliti sono ancora validi, se al parametro k si sostituisce 

 questo stesso parametro moltiplicato per una funzione q(l- , rf) di segno invariabile nel- 

 l'area a. Basterà infatti rammentare un teorema di Goursat (Comptes rendus, 17 février 

 1908), secondo il quale, l'equazione integrale che ne risulta (della forma, detta da Hil- 

 bert, polare), si può sempre trasformare in un'equazione integrale a funzione caratteristica 

 simmetrica (detta da Hilbert, ortogonale). 



