— 270 — 



« È notevole che nell' uno e nell'altro caso le superfici x 3 = cost sono 

 « ortogonali alle Xi = cost , x 2 = cost , e costituiscono una famiglia iso- 

 li terma ». 



1. Cominciamo dal considerare la portata delle nostre ipotesi. 



La funzione f(x 3 ) contiene una costante arbitraria non moltiplicativa: 



quindi la conterrà anche la - ^ - , che avrà perciò essa pure un grado di 



~òX 3 



arbitrarietà. 



Analogamente la H?(xi , x 2 ) contiene due costanti arbitrarie non molti- 

 plicative : le conterranno quindi le - ^ - , ^ ^ - , i cui valori potranno 



quindi considerarsi arbitrarli e — ammetteremo anche — indipendenti. 



La funzione F^ , x 2 ) . f{x 3 ) deve sodisfare l'equazione del Laplace. 

 Avremo dunque in coordinate generali (indicando con apici le derivazioni 

 rispetto ad x 3 ) 



(A) 



Se facciamo in questa x x e x 2 costanti (possiamo senza ledere la gene- 

 ralità porre x x = x z = 0) la (A) assume la forma : f" -f- fp -f- fq = 0 , 

 o scegliendo opportunamente il parametro x 3 



f" + fq = 0, 

 a contenere s 



, e per l'osservazione fatta sopra dovrà essere soddisfatta per ogni 



Per questa la (A) si riduce a contenere solo la f e la /, o meglio la 



dlogf 

 dx 3 



valore di questa derivata. Essa quindi si scinderà nelle due 



2_ -n"C1 



(B) > . — a m) + FA^3 = 0 



Queste pure, per l'osservazione già fatta, devono essere soddisfatte per ogni 

 valore di - ^ - e - - . La (B) si scinderà quindi alla sua volta nelle 



~òXi 1)Xì 



(1) 



a» 3 > = 0 , a (t3> = 0 

 A#3 = 0. 



