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tali i secondi membri, e tali quindi — per la osservazione già ricordata — 

 i coefficienti della P e delle sue derivate. 



La condizione trovata, per i coefficienti di una delle tre equazioni, si 

 scrive (sviluppando i determinanti A) 



(5) a 1 = y h a h 'P h ; a B = Xft a *Q* ' = Zfc : 



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per i coefficienti delle altre due essa è allora identicamente sodisfatta. 

 Infatti, se insieme con le (5) consideriamo quelle che se ne ottengono facen- 

 dovi una volta x 3 = 0 e una volta % 3 = h 0 , otteniamo le colonne di indice 

 1,5,6 (nei determinanti A) espresse linearmente per le colonne di indice 

 2,3,4. Se le colonne 1,5,6 si sostituiscono, nei A che le contengono, 

 con tali espressioni, si vede facilmente che le P rappresentano i coefficienti 



di P , le Q i coefficienti di — , le R i coefficienti di ^— , nelle (C). 



Tali coefficienti riescono quindi indipendenti da x 3 , come avevamo asserito. 



3. Ritorniamo alle equazioni (5). Le due ultime, ricordando le (4), fa- 

 cilmente si scrivono: 



Queste evidentemente ammettono dei sistemi di integrali indipendenti 

 da x 3 . Indicandone tre. linearmente indipendenti con 



a h = L h , a* — M h , * h = N h (A = 2, 3, 4) 



sarà pure un sistema integrale 



a h = tL h + rM„ + sN A (A = 2., 3 , 4). 



Queste dovranno soddisfare la prima delle (5) 



4 



qD = ~2_ h a h P ft , 



e quelle che se ne traggono per derivazione rispetto ad x%. È facile rico- 

 noscere allora che deve essere (p. es.) t = q e 



(6) Xfc M * P * = 0 , V,N A P ft = 0; 



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e se q =f= 0 



2 



(') Che essi esistano si vede facilmente, ricordando noti teoremi di Calcolo. Si sa 

 infatti che scelto a t ad arbitrio ci sono due soli integrali a i (x 1 , tv*) , « 8 (#i , #2) del si- 

 stema (5'), che per Xi = #i< 0) si riducono a due funzioni prefissate w(# a ) , v(x»). L'arbi- 

 trarietà poi di « lf u,v assicura che il determinante || L, M a N 3 1| è diverso da zero per 

 x X TsaXì. w e quindi per valori di #1 che si scostino abbastanza poco da questo. 



