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Queste sono sempre possibili per opportuni valori delle P. Queste, e queste 

 soltanto, se le P sono diverse da zero (')• Quindi non esiste in tal caso un 

 sistema integrale del tipo trovato,, con più di 3 termini. 



È poi facile riconoscere che questo sistema integrale trinomio (per 

 P 2) P 3 ,P 4 non tutte nulle) è il più generale possibile (*). 



Abbiamo così finalmente, ricordando le (3) e le (1), (2), e scrivendo 

 A ftJt , B hh , in luogo di L h D , M h D , NJ) (i simboli con due indici sono 

 simmetrici) e 1:D in luogo di D: 



j a™ = Q^hh + rBfc* + sGjth (h , k — 1 , 2) : 



(« 13 = 0 , «23 = 0 , a 33 = D 2 (« n a 22 — aì 2 ) 



4. Ed ora veniamo ai casi esclusi : 1°. P 2 = P 3 — P 4 = 0; 2°. A234 = 0 

 ammettendo però che la matrice 



a 2 



«3 



a 4 



A 2 



A 3 



A 4 



non sia identicamente nulla. Allora, al più scegliendo opportunamente la 

 costante A„, non sarà identicamente nulla neppure la matrice 



A 2 A 3 A 4 2_ 

 B 2 B 3 B 4 



Siano intanto nulle le P. Ricordando il loro significato, si ha tosto 



Al34 == A214 A231 = 0 r 



L'ultima, introducendo due indeterminate X e [*,, si scrive 

 (8) a h = lk h + fiB h 



dove h == 1,2,3. Le altre due, ricordando che la matrice M non è iden- 

 ticamente nulla, mostrano che la (8) vale anche per A = 4 e che è quindi 



A234=0. 



Basta dunque considerare il caso A234 = 0 : le (C) (prima della divi- 

 sione ivi effettuata per A234) portano allora, per l'osservazione più volte 

 ricordata, che siano nulli tutti i A che in esse compaiono. Come nel caso 

 delle P nulle, varranno le (8), e varranno per ogni indice h da 1 a 6. Eli- 



( l ) Invero un quarto integrale a h = Tj* dovrebbe soddisfare ad una equazione del 

 tipo (6). Il determinante del sistema (6) così completato dovrebbe esser nullo, e quindi 

 le T linearmente dipendenti dalle M e dalle N. L' integrale conserva quindi la sua forma 

 «h = + rM h -\- sN A . 



(*) Lo si vede p. es. facilmente, supponendo il sistema integr. gen. sviluppabile in 

 serie di potenze di %%. 



