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Matematica. — Sulla formula integrale di Fourier 0). Nota 

 di Luciano Orlando, presentata dal Corrispondendo T. Levi-Civita. 



Nel classico trattato di fìsica matematica di Kiemann- Weber ( 2 ) è con- 

 tenuto quanto basta per asserire che la formula integrale di Fourier si può 

 considerare stabilita quando sia stabilita la formula preliminare 



da xp(X) cos aXdX = 0 (c > 0). 



0 J c 



Il numero positivo fìsso c , che figura in questa formula, si può ritenere 

 arbitrariamente alto, per virtù di quest'altra relazione 



J~. re 

 da %p{X) cos aXdX=0 (*>0), 



•chiaramente e rigorosamente dimostrata nel medesimo libro. 



Per la validità della (1) sono ivi imposte alcune condizioni alla funzione 

 xp(X) . Accettando senz'altro quelle che non hanno relazione col limite infinito 

 dell'integrale che figura a destra nella (1), fisseremo invece l'attenzione sulle 

 tre seguenti: 



I. Esiste un numero fisso c , tale che per X J^. c la funzione ip(X) 

 non cresca mai o non drecresca mai col crescere di X (qui la considereremo, 

 per esempio, non crescente). 



II. La funzione ip(X) tende a zero per X infinito (supporremo dunque 

 che xp(X) per X ^ c non sia mai negativa). 



— dX è convergente. 



La dimostrazione contenuta nel Eiemann-Weber è, come ha recente- 

 mente osservato il Pringsheim ( 3 ), fondata sopra un equivoco. Il Pringsheim 



C) Nota pervenuta all'Accademia il 16 settembre 1908. 



( 2 ) Die partiellen Differentialgleichungen der mathematischen Physik. V. il secondo 

 capitolo del primo volume. 



( 3 ) In un articolo sull'integrale di Fourier, inserito nei Jahresberichte der deutschen 

 Mathematikervereinigung (B. XVII, 1907), il Pringsheim osserva che il Weber scrive 

 abusivamente la formula 



da I cos al dk = I -jj— sin Xfi dì. , 



dalla quale poi si deduce la (1). Questi punti poco chiari del Eiemann-Weber costitui- 

 scono una rarissima singolarità nella limpida eleganza dell'ottimo libro. 



