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afferma che, ciò nonostante, il teorema è valido, e che anzi bastano le sole 

 condizioni I e II, fra le tre che qui abbiamo scritte, perchè si possa rigo- 

 rosamente stabilirlo. Aspettando che l'illustre Autore abbia reso nota la 

 sua dimostrazione, noi non crediamo, intanto, inutile darne una, rigorosa e 

 semplice. 

 Poniamo 



\p(l) cos al di , 



c 



e vediamo di provare che f(a) è, per ogni a ]> 0 , una funzione continua 

 dia. Che, intanto, per ogni a>0 ; l'integrale converga, si deduce agevol- 

 mente dal § 7 del primo volume del Ri emann -Weber. 



Se ora y e v sono due numeri positivi non inferiori a c, il secondo 

 teorema della media ci permette di scrivere 



(2) JVw 



COS al di ■■ 



, . sin a£ — sin ay . , . sin av — sin ag 



V(y) + VOO z 



dove £ è un numero intermedio fra y e v . La convergenza dell'integrale f(a) 

 assicura che il secondo membro ha, per v infinito, un limite ben preciso. 



2 



Ma ip(v) tende a zero, il suo coefficiente non supera - , come il coefficiente 



a 



di ip(y) , dunque possiamo scrivere la formula 



I 



\p{l) cos al di 



2y(r) 



Per y abbastanza grande, il secondo membro è una quantità arbitrariamente 

 piccola. Se facciamo variare a, in modo che, nel variare, non diventi più 

 piccolo di un numero positivo fisso f, allora l'oscillazione di quest'integrale 

 si può considerare arbitrariamente piccola, per y abbastanza grande. 



Pissato ad arbitrio un numero positivo w , piccolo quanto si voglia, esi- 

 sterà dunque un numero fisso y tale che l'oscillazione di quest'integrale non 



passi — . 



li 



Ma, se facciamo variare a abbastanza poco, anche l'integrale 



r 



Xp(l) COS al di 



oscillerà meno di — . Infatti si può scrivere 

 I C cos ( a H~ A) l — COS al~] di 



sin ( a + |) 



= 2 



c 



sin 



hi 



l di 



