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Ora, il modulo di sin ^« -f- |^ ^ non oltrepassa 1 , il modulo di sin ^ non 

 oltrepassa — , dunque l'oscillazione dell'integrale che stiamo esaminando 



2 



n oltrepassa | h \ j ^ Xtp{X)dX , e, come tale, si può, per A abbastanza v 

 cino a zero, ridurre <C • 



Li 



Ricomponendo f{a) come segue: 



f{a) = j if/(X) cos aXdX-\- ! cos dX , 



noi vediamo che, se «>0 varia abbastanza poco, la funzione f(a) oscilla 

 meno di o>; ciò significa che f{a) è una funzione continua di a per ogni 

 a>0. 



Notiamo che dalla (2) si ricava 



r°° ,,x , /x sin ap — sin ay 



(3) cos m = Vir) 



dove £> è una funzione di a , sulla quale non possiamo dire nulla di preciso ; 

 ma invece sin aq è una funzione continua di ogni a 0 , la quale non esce 

 mai dall'intervallo ( — 1 , 1). 



La formula (3) è valida per ogni y = c ; col variare di y , varia gene- 

 ralmente anche sin ag , ma sempre fra — 1 e 1 ; e il coefficiente di ip(y) 

 2 



non supera - . 



a 



La funzione /(«), essendo continua, è integrabile in ogni intervallo (e, fi), 

 limitato da due arbitrari numeri positivi e , fi . 



Supponendo dunque che « <C 1 e fi > s siano due numeri positivi fissi, 

 noi possiamo scrivere 



(4) ! ^ da ! ip{X) cos ccXdX— ! ip(X) dX j ^cos aX da 



C' 1 ,..smuX — sin «A 

 = J ìp{X) — - — dX . 



Ma la convergenza dell'integrale /(«) mostra che, fissato ad arbitrio un nu- 

 mero positivo co , quanto si voglia piccolo, si può, per v abbastanza alto, 

 porre 



m 



cos aX dX 



< ■ 



fi 



