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Si deduce che il primo membro di (4) ha un limite ben preciso per v infi- 

 nito, e si può scrivere 



(5) yda f xp(X) cos aldi — f ~^ sin ^tA — 



sin si di . 



Ora noi applichiamo alle due funzioni e sin fiX una formula come 



la (3), la quale è invece relativa alle due funzioni ip(l) e cos l . Otteniamo 



— : — sin pbl di 



2xp(c) 

 fio 



o anche 



(6) lim f ^sinM^ = 0. 



Esaminiamo poi l'altro integrale che figura nel secondo membro della (5). 

 Esso si può decomporre come segue: 



(7) j-mmm-W'm* 



sin s l di = —. — sin si di 



+ f 



H>{X) . 



— ì — sin si di . 



Ora, qualunque siano i due numeri positivi l ed L , e comunque L cresca, 



j di resta sempre entro limiti fissi. Tenendo presente ciò, 



noi possiamo nel secondo integrale del secondo membro di (7) operare la 

 sostituzione X'=eX, dove X' è la nuova variabile d'integrazione. Soppri- 

 mendo l'accento, otteniamo 



X\ sin X ... 

 - dX 



Ma, scrivendo 



p / X\ sin X „ , . r \ sin X „ , l v \ f v sin X „ 



dove £ è un numero fra ye e v ^> y , noi vediamo che si può /issare y così 

 alto, che, qualunque sia e < 1 , e qualunque sia v ^> y , quest'espressione 



diventi vicina a zero più del numero arbitrario fisso ^ . Fissato in tal modo 



a 



