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h potendo essere solo zero od uno, k essendo radice della k(k — 1) = C, 

 e Q essendo la parte intera della radice quadrata di 



M, t m ~ 2 + M 2 P- 3 + • • • + A + | + £ 



ordinata secondo le potenze decrescenti di t. 



Se m è dispari, Q non potrà essere mai razionale, e quindi ricaviamo 

 da ciò il primo risultato che : la (2) non è mai integrabile con un numero 

 finito di segni algebrici J esponenziali e logaritmici quando m è dispari 

 e maggiore di 1. 



Consideriamo ora il caso di m pari; ponendo 



m = 2q 



Q = A 0 /p- 1 + A, t?~ 2 + • • • + A p _ 2 1 + A P _! , 



Q 2 — [M, t 2 ?- 2 + M 2 1 2 ?- 3 -j f- M 2p _ 2 * + A] = 



= Po /?- 2 + V 1 1?- 3 + • • • + P p _ 3 * + P P _ 2 ; 



e tenendo conto della (5), la (4) si trasforma in 



P„*?- ! + P, (!« + ••. + P P . ! -fa=^-2Q |- 



(6) 



+ *»f_L 1 + ... + _!_-| + 



Ed eguagliando a zero prima di tutto il coefficiente della potenza più ele- 

 vata di t, abbiamo la duplice condizione 



± P 0 — (q — 1) A 0 — 2M 0 — 2iA 0 = 0 , 



dove i indica il numero delle a% , a t ,Oi . 

 Se ne deduce che deve essere 



(7) -2A 0 2— = * 



con « intero nullo o positivo. 



Se una di queste condizioni si avvera, la (3) può essere soddisfatta 

 da un valore 



(8) v = e^ Qdt .tKZ\ 



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