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colare. Se si avverano entrambe le (7), è chiaro che si hanno dalle (9) due 

 sistemi corrispondenti (a) e (/?) ed («') e (/?'), quindi 2(q — 1) condizioni, 

 oltre le due (7), per l'esistenza dell'integrale generale. Può dirsi più bre- 

 vemente che le condizioni per la integrabilità sono le stesse che occorrono 

 per la compatibilità di ognuno dei due sistemi (a), (/?) ed (a'), {§') nelle 

 incognite h. Se la compatibilità sussiste per uno solo di essi, si ha un 

 integrale particolare; se per tutti e due, separatamente considerati, se ne 

 hanno due e quindi l' integrale generale. 



Fermiamoci ora a considerare un poco più profondamente le (7), ed 

 osserviamo anzitutto che la somma dei loro primi membri è eguale ad 



Ciò posto è evidente che se C <. 0, non potendo essere k << 0, quella somma 

 sarà certamente negativa, e perciò in quel caso le (7) non potranno coesi- 

 stere, ossia : la (2) non potrà ammettere integrale generale finito se C <. 0. 



Ma se C > 0, esiste un valore negativo di k, e se questo è tale da 

 rendere positiva o nulla quella somma, allora è possibile la esistenza dello 

 integrale generale finito nel senso sopra detto. 



Per avverarsi ciò dev'essere 



ma per l'esistenza dell'integrale generale, quella somma espressa dalla (10) 

 deve essere anche intera: dunque 



(10) 



l—Q — 2k. 



2k = 1 — j/1 + 4C 



dev'essere intero, e perciò deve aversi 



]/\ + 4G = n (n intero positivo) 



ossia 



C 



n 



2 — 1 

 4 



con n>.Q. 



Ora, ricordando che 



C = 



4a m — X 2 

 4A 2 



e ponendo l = \/l -\- éa m , si ricava 



(11) 



l _ 

 t = ±», con n >- q . 



In conclusione la (11) è condizione necessaria per la esistenza dello 

 integrale generale della (2) in forma finita esplicita. Se essa non si verifica, 



