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ove a , § , y , . . . sono forme risp. di 2°, 3°, 4°. . . ordine. (La ax = 0 rap- 

 presenterà la coppia delle tangenti principali di S relative al punto 0). Le 

 equazioni (3), (4), ordinate secondo i gradi crescenti nelle a?, diverranno : 



(3') — (xu) + «# + + • • • — 0 



(4') 2 Vi «i x + (2 y* A x — ax ) + (%ViYiX — 2/?a?) + • • • = 0 . 



3. Per avere il contatto tripunto di queste due curve nell'origine, scri- 

 viamo anzi tutto che coincidono le loro tangenti, ossia: 



(5) ^y iai x = q .{xu). 



Dopo ciò, per avere l'incontro tripunto in 0 di (3') con (4'), potremo sosti- 

 tuire ad esempio a quest'ultima l'equazione che si ottiene aggiungendole 

 l'altra moltiplicata per q (')• Così, al posto di (4'), avremo: 

 (4") [(g - 1) ax .+ 2 y,/,a>] + [(e - 2) ^ + 2 jftr*»] + ■ • • = 0 • 



Questa curva ha 0 doppio, colle tangenti rappresentate dal primo gruppo di 

 termini. Perchè essa abbia incontro tripunto colla (3'), dovrà la tangente 

 in 0 a questa, cioè (xu) = 0, far parte di quelle, cioè 



(6) (q — l)au + ^ìjipiU = 0. 



Di qui si trae un'espressione di q; e sostituendola nella (5), questa 

 identità lineare in x l x 2 esprimerà il legame analitico fra y Y y 2 qu x u 2 , rap- 

 presentante la corrispondenza considerata tra i punti P di co e i piani n di 0. 

 Basterà confrontare nei due membri dell'identità i coefficienti di x x e di x 2 , 

 per avere le due equazioni della corrispondenza. 



Ma possiamo ottenere facilmente le formole stesse, già risolte rispetto 

 alle y, osservando che quell'identità (5) fra le x non può differire dalla nota 

 identità 



cc 1 x . a 2 u — a 2 x . a x u = 4. (xu) , 



in cui J è il determinante dei coefficienti delle forme lineari a x , a 2 , vale a 

 dire il quadruplo del discriminante della forma quadratica a; e si sup- 

 pone z/=j=0 ( 2 ). Confrontando i coefficienti di a x x ,ct%x , (xu), si ha: 



(7) ì/i = ^<*2U , ^ = -^«im; 

 e sostituendo in (6) 



(q — 1) J . m + g(a 2 u . i?i u — ct x u . /? 2 u) = 0 , 



Q) In generale, dalla definizione analitica (cogli sviluppi in serie) della multiplicità 

 d'intersezione di due curve piane analitiche in un punto semplice per l'una di esse (od 

 anche in un punto qualunque), risulta subito che essa non muta, se all'equazione dell'altra 

 curva si aggiunge quella della prima moltiplicata per una funzione qualunque. 



(*) In fatti se le due identità fossero distinte, ne seguirebbe, risolvendole, che a t x e a^x 

 avrebbero un rapporto costante ; e quindi il loro determinante sarebbe nullo. 



