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ossia, rappresentando con Ju il determinante funzionale delle due forme 



au e fiu, 



(8) Q = 



Quindi le (7) diventano : 



J . au 



4 .au — Ju 



(9) 



au . a 2 u 

 J .au — Ju 



Vi 



au . a x u 

 J .au — Ju 



4. Queste forinole (9) rivelano subito alcuni caratteri della corrispondenza 

 tra i punti P di co ed i piani n di 0. Ed altre proprietà si possono enunciare 

 insieme, applicando a quelle la legge di dualità nello spazio, cioè scam- 

 biando 0 con co, P con n, ecc. Se poi al lettore farà comodo, sostituisca, 

 come già si disse, alla stella 0 un piano reciproco co', interpretando u x u 2 

 come coordinate di punto in <a'. 



Si vede che la nostra corrispondenza è Cremoniana, e in generale 

 di 3° grado. La rete omaloidica in co' è determinata dalle tre cubiche 



au . «i u au . a 2 u J . au — Ju . 



Essa si compone dunque di cubiche passanti per 0 con due rami, tangenti 

 risp. alle due rette fìsse au = 0 (tangenti principali di S); per modo che ogni 

 ramo ha incontro quadripunto in 0 con una cubica qualunque della rete, 

 ossia che i rami aventi in 0 la stessa retta tangente hanno fra loro incontro 

 tripunto, cioè contatto di 2° ordine. (In 0 cadono dunque 8 delle 9 inter- 

 sezioni di due cubiche della rete). Tale sarà anche la rete omaloidica delle 

 cubiche di co corrispondenti ai fasci di piani della stella 0. D'altra parte, alle 

 rette di co corrisponderanno in questa stella, come inviluppi di piani, dei 

 coni di 3 a classe, aventi co come piano tangente doppio, tangente cioè lungo 

 le due tangenti principali a di S ; e questi coni avranno fra loro, lungo ognuna 

 di queste due generatrici, un contatto di 2° ordine, proveniente cioè dall'esi- 

 stenza di tre generatrici successive comuni. — 



Nel ricavare la formole (9) abbiamo escluso il caso J = 0, cioè del 

 punto parabolico. Ma si possono ricavare le stesse formole, anche senza quella 

 eccezione. In quel caso però esse si riducono ad esprimere y x e y 2 in funzione 

 del solo rapporto u l : u 2 ; cosicché a tutti i piani della stella 0 passanti per 

 una stessa retta del fascio Oco viene a corrispondere uno stesso punto P. 

 Kitroviamo la degenerazione della corrispondenza, già notata al n. 1. — 



Un altro caso degno di rilievo è quello in cui le forme a e /? abbian 

 comune un fattor lineare: ciò vuol dire che una tangente principale (rap- 

 presentata appunto da quel fattore) ha in 0 con S incontro più che tripunto. 

 Quel fattore lineare dividerà pure il Jacobiano J di « e/3; sicché le (9) si 



