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semplificheranno colla soppressione di quel fattor comune, e rappresenteranno 

 in questo caso una trasformazione quadratica. La rete omaloidica in co si 

 comporrà di coniche tangenti in 0 alla 2 a tangente principale: coniche fra 

 loro osculataci in 0. Questo caso si presenterà, ad esempio, sempre quando S 

 sia una superficie rigata gobba. — 



Se poi entrambe le tangenti principali hanno con S incontro più che 

 tripunto, cioè se a divide 0, e quindi anche divide J, le (9) si riducono 

 al 1° grado: la corrispondenza fra il piano w e la stella 0 si riduce ad una 

 reciprocità. 



5. Procediamo ora ad una ricerca ulteriore. Kifacendoci a quanto accen- 

 navamo al n. 1, prendiamo sulla superficie S, col punto 0, altri tre (anzi 

 che due) punti successivi su una curva passante regolarmente per 0 ; ma in 

 modo che quei 4 punti stiano in uno stesso piano n. Domandiamo che i quattro 

 piani tangenti in essi a S concorrano in un punto P. Otterremo così oo 1 par- 

 ticolari coppie di elementi P e n omologhi nella corrispondenza precedente- 

 mente studiata. Per ognuna di esse potremo dire che: una linea tracciata 

 su S, passante per 0, ed avente tv per piano stazionario, cioè iperosculatore 

 in 0, dà una sviluppabile circoscritta lungo essa ad S per la quale il piano co 

 ha come punto singolare un punto stazionario P (punto di regresso sullo 

 spigolo di regresso). In particolare: la linea di contatto di S col cono cir- 

 coscritto da P ha in 0 contatto quadripunto col piano n. 



Quest'ultima proprietà ci permette di proseguire nella via tracciata 

 ainn. 2 e 3, per ottenere i luoghi delle co 1 coppie Ptt. Basterà che impo- 

 niamo alle curve piane (3'), (4') contatto quadripunto in 0, mentre prima ei 

 bastava il contatto tripunto. Già al n. 3 avevamo sostituito alla (4') la (4") ; 

 la quale, mettendovi i valori (8) e (9) di Q\fì;y>ìS diventa: 



{Su . ax -f- au(a z u . /?i CC — «i U . PzX)~\ -f- 



( 10 ) _|_ [( _ J . au + 2 Su) §x + au (a, u . yi x — a l u . y,as)] -\ = 0. 



Il 1° gruppo, composto dei termini di 2° grado, si annulla (cfr. n. 3) 

 per x — u ; sicché si potrà porre, indicando con k(x , u) una forma, lineare 

 nelle x, e quadratica nelle u: 



(11) (xu) . A(x , u) == Jw . ax + ctu (« 2 u . #i x — «i u . §i x) 



Sostituisco ancora alla (10) quella che se ne deduce sommandola colla (3') 

 moltiplicata per k(x , u), cioè : 



ax . A(x ,u)-\-{—J.au-{-2Ju)px J r au(a 2 u . y x X — a x u . y 2 x) 



+ ■•• = 0. 



Questa nuova curva ha in 0 un punto triplo, le cui tangenti son rap- 

 presentate dai termini scritti, di 3° grado nelle x. Perchè abbia in 0 incontro 



