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quadripunto colla (3'), la cui tangente è {xu) = 0, dovrà quel gruppo di 

 termini annullarsi per x = u, cioè 



(12) ccu . k{u , u) — J . au . @u + 2Ju . §u — ccu . D{au , yu) = 0, 



ove D indica il determinante funzionale. 



Quest'equazione (12) caratterizza le coordinate u x u 2 dei piani n di cui 

 ora ci occupiamo. Si può determinare la funzione k{u , u) che vi compare, 



eseguendo l'operazione V = a 2 u. — a t u. sui due membri dell'iden- 



~òX\ òX 2 



tità (11), il che dà 



(ui . tt l u-\-u 2 . cc 2 u) k{x , u) -f- {xu) . V k{x , u) = 

 = 3u{a 2 U . a 1 x — «i u . a 2 x) -j- 

 -|- ccu [(a 2 w) 2 ■ PuX — 2a x u .a 2 u . §^ 2 x-\- {ct l u) 2 . (ì 22 x~\ • 



Ponendo poi x = u, e dividendo per 2au, rimane: 



k{u , u) = i \JnU . {a 2 uf — 2p l2 u.a l u.a 2 u J r p 2 ìU. («i^) 2 ]. 



Con ciò la (12) diventa, sopprimendo l'indicazione delle variabili u, che ora 

 possiamo sottintendere : 



ì « [0n«? — 2/9 12 « 1 « 2 + p 22 a\ — 2J.ft + 

 W +2/S.D(«,]S) — a.D(a,y) = 0. 



In quest'equazione i termini della l a linea costituiscono una forma 

 di 5° ordine, quelli dell'altra di 6°. Dunque : i piani singolari n della stella 0 

 inviluppano un certo cono di 6 a classe avente co per piano quintuplo. Dual- 

 mente: i punti singolari P, corrispondenti a quei piani, formano nel piano co 

 una curva del 6° ordine avente 0 per punto quintuplo. 



I suddetti termini di 5° ordine della (13) presentano, col fattore qua- 

 dratico a, la forma cubica 



(14) fri «* — 2fr, + — 2J.fi. 



Ora si riconosce facilmente che quest'ultima ha appunto per Hessiano a 

 (a meno di un fattor costante) : rappresenta cioè un ciclo di una projettività 

 ciclica di 3° ordine, i cui elementi uniti sono gli elementi di a. Se in fatti 

 si assume au = u x u 2 , fiu = b(,uì-\ \-hul, la forma (14) diventa 



(14') 8 (*„«! + MI). 



Dunque : il cono di 6 a classe tocca il piano co lungo le due tangenti prin- 

 cipali a di S, e lungo altre tre rette formanti una terna che ha a per Hessiano. 

 La curva del 6° ordine del piano co ha in 0 per tangenti le due tangenti prin- 

 cipali a, e tre rette formanti una terna di cui a è l' Hessiano. Queste due 

 terne di rette del fascio Oca sono corrispondenti fra loro nell'involuzione delle 



