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tangenti coniugate, cioè nell'involuzione che ha a per coppia di elementi 

 doppi. Ogni terna è dunque il covariante cubico Q dell'altra. 



6. La prima di queste notevoli terne di tangenti fu già incontrata dal 

 sig. Darboux ( J ) sotto un altro punto di vista. 



Consideriamo le quadriche aventi in 0 colla nostra superficie S, di 

 equazione 



Z = ax -\- §x , 



un contatto di 2° ordine : vale a dire le quadriche seganti S secondo curve 

 aventi in 0 un punto triplo. Hanno per equazione 



2 — ax + s {Ci x i + °2 %2 -\- CzZ) — 0. 



La curva d' intersezione di una di esse con S ha in 0 per tangenti le rette 

 @X -\- (<?i Xi -\- c 2 x 2 ) ax = 0 , 



le quali costituiscono una terna variabile in un' involuzione oo 2 di 3° grado, 

 entro al fascio Oco. I raggi tripli di quest' involuzione son quelli incontrati 

 da Darboux (sotto il nome di tangentes d'osculation quadrique). Orbene un 

 breve calcolo prova che essi sono appunto quei tre raggi del detto fascio 

 (costituenti necessariamente una terna di quella medesima involuzione) che 

 si rappresentano annullando la nostra forma (14), o la (14'). Coincidono dunque 

 colla terna da noi considerata di generatrici del nostro cono di 6 a classe. 



7. Se il punto 0 è parabolico per S, cioè se « è un quadrato l 2 , l'equa- 

 zione (13) diventa divisibile per l, e la forma (14) per l 2 . La tangente 

 principale unica si stacca dunque come luogo di punti dalla curva di 6° or- 

 dine, e come inviluppo di piani dal cono di 6 a classe ( 2 ). — 



Se invece i due fattori lineari di a sono distinti, ma uno di essi divide 

 anche /?, di nuovo esso dividerà tutto il 1° membro di (13). Dunque anche 

 una tangente principale a contatto più che tripunto si stacca come luogo 

 dalla curva di 6° ordine, e come inviluppo di piani dal cono di 6 a classe. 



(') Sur le contact des courbes et des surfaces. Bulletin des sciences mathém. (2), 

 4, 1880; cfr. le pp. 356-358. 



( 2 ) Il cono di 5 a classe, che così rimano, è l'inviluppo dei piani osculatori in 0 ai 

 due rami con cui passa per questo punto la curva di contatto di S col cono circoscritto 

 da un punto variabile P della tangente principale l. 



La coppia delle tangenti in 0 a quella curva di contatto varia, movendosi P su l , 

 in un'involuzione, di cui un raggio doppio è l; mentre l'altro è la tangente in 0 alla linea 

 parabolica di S, e coincide colla retta residua della nostra terna (14). 



