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Ma se ciò avviene per entrambe le tangenti principali, ossia se a divide /?, 

 si trova che la forma (14) è nulla identicamente. Si può accertarsene subito, 

 assumendo au^u x u t , e quindi la (14) ridotta a (14'), ove nella ipotesi at- 

 tuale h a e # 3 son nulle. Per conseguenza nella (13) rimangono solo i termini 

 del 6° ordine, i quali son divisibili per a. Concludiamo che : quando entrambe 

 le tangenti principali hanno con S in 0 incontro più che tripunto, la curva 

 del 6° ordine si scompone in quelle due tangenti e in un'ulteriore quaterna 

 di rette del fascio Oco ; e dualmente, il cono di 6 a classe dà la quaterna delle 

 tangenti coniugate di queste. 



8. Un ulteriore passo, nel procedimento di calcolo dei nn. 2, 3 e 5, con- 

 durrà facilmente a determinare un certo numero finito di coppie di punto P e 

 piano re tali, che i piani tangenti ad S in 0 e nei quattro punti successivi 

 comuni a S e n concorrano in P. — 



Un'altra ricerca da fare sarebbe quella delle modificazioni, che esige 

 tutta la precedente teoria, nel caso che il piano co tangente in 0 ad S sia 

 singolare, o multiplo : cioè che nello sviluppo di z in serie di potenze di Xi x 2 

 manchino i termini di 2° grado a, e poi anche quelli di 3° grado /?, ecc. 



Del resto in tal caso va già modificato il teorema delle tangenti coniugate. 

 Se lo sviluppo di z in serie di xi x 2 comincia coi termini y> di ordine m, se 

 cioè la curva sezione di S con co ha in 0 un punto m-plo (di cui cp darà il 

 gruppo delle tangenti), la linea (2) di contatto di S col cono circoscritto da 

 un punto generico P di co avrà in 0 la moltiplicità m — 1, e per tangenti 

 il 1° gruppo polare t x t 2 ... t m ~i della retta OP(= t) rispetto al gruppo g> 

 delle m tangenti principali di S in 0. Possiamo dire allora che la retta t è 

 intersezione di co col piano infinitamente vicino che è tangente ad S nel punto 

 successivo ad 0 su una qualunque delle rette ti . . . t m -i. Ciò si spiega col 

 fatto che, considerando S come inviluppo di piani, co è piano (m — l)plo per S: 

 sicché, per una retta infinitamente prossima a una retta t del fascio Oco, pas- 

 sano m piani tangenti di S infinitamente vicini ad co. La corrispondenza fra 

 le tangenti coniugate, che nel caso ordinario è biunivoca, qui diventa degli 

 indici (1 , m — 1); e la denominazione di « coniugate » cessa di essere appro- 

 priata, perchè la relazione fra due tangenti come t e ti non è più reciproca, 

 in generale. 



