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Queste condizioni sono più che sufficienti per assicurare la continuità e 

 la derivabilità per due volte successive (sia rispetto ad u , v , w , che rispetto 

 ad x , y , z) delle caratteristiche geometrico-differenziali di primo e second'or- 

 dine, spettanti alle curve della congruenza. Saranno in particolare funzioni 

 continue e derivabili due volte i coseni direttori a , /? , y della tangente, la 

 curvatura c e i coseni direttori a x , , Yl della normale principale. 



Ciò premesso, fissiamo una determinata fra le curve L e designiamola 

 con C , supponendo (come è evidentemente lecito senza pregiudizio della ge- 

 neralità) che essa corrisponda ai valori u = 0 , v = 0 dei due parametri de- 

 terminativi. 



Consideriamo le curve L della congruenza vicine a C , e precisamente 

 tutte quelle, che corrispondono a valori di u , v , situati in un certo intorno 

 m di u — v = 0 : esse riempiono complessivamente uno spazio filiforme, con- 

 tenuto in r, che diremo tubo T, caratterizzato, quanto all'andamento ge- 

 nerale, dalla sola linea C (come del resto da un'altra qualsiasi delle varie 

 L , che lo costituiscono). Diremo che C è la direttrice del tubo, o, in par- 

 ticolare (se si tratta di un tubo chiuso), dell'anello T . 



Quanto all'intorno us (da cui dipende la grossezza del tubo), converrà 

 ritenerlo abbastanza piccolo perchè sussista costantemente una certa disu- 

 guaglianza, che sarà specificata qui appresso [n. 2, #)]. 



Interpreteremo le coppie di valori di u , v come punti di un piano rap- 

 presentativo n ; us viene così a corrispondere ad una piccola area compren- 

 dente l'origine. Ogni punto di quest'area individua una curva L , e potrà dirsi 

 piede della curva; il piede della direttrice C viene quindi a cadere nel- 

 l'origine. 



2. Comportamento delle sezioni trasversali. Lemmi diversi. — Le (1), 

 risguardandovi costante w , ci porgono la rappresentazione parametrica di una 

 sezione trasversale a del tubo ; u , v possono naturalmente interpretarsi come 

 coordinate curvilinee di tale superficie. Il relativo quadrato dell'elemento 

 lineare sarà 



ove si ponga secondo la consuetudine (con evidente significato della notazione) 



dx 2 + df -\- dz* = ^du 2 + 2¥dudv -f GaV , 



dx dx 

 du dv 



Posto pure 



(3) 



H = | j/EG — F 2 | , 



si ha in 



E F 



H 2 = 



F G 



