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donde per sottrazione 



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Se ne desume, invocando il teorema dell'aumento finito, e avendo ri- 

 guardo a c), i 1 ) che le derivate d'ogni differenza del tipo g(?) — g(U) sono 

 funzioni semi- finite. 



g) Supponiamo che #i,# 2 , e quindi anche g, dipendano più gene- 

 ralmente da più, diciamo due, per fissar le idee, punti parametrici P eF, 

 valendo beninteso rispetto ad entrambi e rispetto alle altre variabili il com- 

 portamento di cui sopra. 



Scriveremo in tal caso g(P , P'). 



Ove sieno R ed R' due posizioni qualisivogliano (sempre sulla stessa. 

 sezione a - ) dei punti P e F, si può qui ancora agevolmente concludere che 

 le derivate (rapporto ad u,v,w) d'ogni differenza del tipo g(P , P r ) — 

 — g(B, , R) sono funzioni semi-finite. 



3. Potenziale newtoniano di un tubo. — Sia $(x,y,z) una funzione 

 dei punti del tubo T, finita, continua e derivabile almeno tre volte. 



Siano Q e Q' due punti generici di T ; x,y ,z e x' ,y' ,z' le rispet- 

 tive coordinate cartesiane ; u , v , w e u' , v' , w' le coordinate curvilinee [de- 

 finite, possiam dire, dalla risoluzione delle corrispondenti (1)]; QQ' = r , q' = 

 = q(x' , y , z'), dT = dx' dy'dz' , e si ponga 



(ii) u=jUr, 



con che U è il potenziale in Q di una massa distribuita con densità q entro 

 il tubo T. 



Per eseguire l' integrazione, si può immaginare scisso il tubo T (di sezione 

 piccola, ma pur sempre finita) in tubetti infinitesimi, costituiti anch'essi, al 

 pari di T, da linee L, e valutare prima il contributo di un tubetto gene- 

 rico, sommando poi questi contributi parziali. 



Ove si adottino come variabili correnti di integrazione, in luogo delle 

 x' , y' , s\ le u , v' , w' , l'accennato criterio equivale ad eseguire una prima 

 integrazione rispetto a w\ lasciando fissi u' , v', e ad integrare poi rispetto 

 a questi due parametri, facendoli variare entro il campo di valori corrispon- 

 dente a T, cioè (nel piano rappresentativo n) entro & . 



Potremo pertanto scrivere, in base alla formula, di trasformazione degli 

 integrali tripli, 



JJ =j^du'dv' JJ^- dio' , 



( x ) Si noti che è lecito invocare la proposizione c), perchè, come abbiamo esplici- 

 tamente avvertito, i punti parametrici P , R si ritengono situati sulla stessa sezione w = cost, 

 cui appartengono Q ed 0. 



