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Orbene, con un procedimento pressoché identico a quello sviluppato 

 nella mia Nota, si possono, con tutta facilità, determinare i coefficienti a n , 

 dopo di che la formola precedente riesce identica ad una elegante formola 

 di E. Schmidt (*), che qui viene così stabilita nel modo più naturale e sem- 

 plice. Da essa si traggono poi subito alcune forinole fondamentali, che Hil- 

 bert e Schmidt hanno stabilito in modo assai meno semplice. 



1. Si abbia l'equazione integrale: 



(1) cp(x) = f{x) + X Jk{x , y) <p(y) dy , 



e supponiamo che K(x , y) sia una funzione simmetrica di x e y ; ponendo : 



(2) V{x) = <p{x) — f{x) , 

 la (1) diventa: 



(3) f(x) - xJk(x , y) lf(y) xp{y)] dy. 



Quest'equazione integrale, avendo il nucleo simmetrico, ha almeno un polo ; 

 chiamando X x quello di minimo valor assoluto, poniamo: 



(4) tp(x) = a, X ^ìfL + tft 1 (x) , 



ove a x è ima costante da determinarsi, e xp x {x) una funzione regolare per 



Sostituendo nella (3) si ha: 



«i l<pi(x) -f- (X, — X) tp^x) = 



(5) = X Jk(x ,y) \ aa 9l (y) + (A, - A) \_f{y) + 1>M1 1 dy, 



onde, ponendo X = X Ì : 



(6) <?i(x) = X 1 J~K(x , y) (piiy) dy . 



Sostituendo nel secondo membro della (5) all' integrale relativo a (f x il suo 

 valore (6), si ha: 

 X 



«i j {Xi — X) (p^x) -f (X, — X) xp^x) = 



= A(A X - X) Jk(* , y) lf{y) + ^(y)] dy , 



e dividendo per X x — X : 



(7) a, j <p,(x) + xpi{x) = xJk(x , y) \_f{y) + xf) 1 (y)~] dy ; 



(') Schmidt, Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen; I Teil 

 (Mathematische Annalen, 63 Band, 1907). 



