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La funzione ipz(x) soddisfa poi all'equazione integrale: 



xp 2 (x) = xJk(x , y) [f{y) — «i 9i{y) — a t g>t{y) + V»(y)] dy . 



La (4) porge quindi : 



xp(x) = a, l -0Xr + a, X -f&L + tf> z (x) . 



Così proseguendo, e supponendo dapprima che esistano solo m poli 

 , A 2 , ... , X m , si arriva all'espressione: 



in cui: 



«„ = jjf{x) <Pn(x) dx 



<pn{x) = K jK(x , y) <p n {ij) dy (n — 1 , 2 , . . . , m) 

 J[g>n{x)y dx = 1 , 

 e t/> m (cc) deve soddisfare all'equazione integrale : 



(12) xp m (x) = xJk(x , y) lf{y) — a^iy) a m <p m {y)-{- «M«/)] 



Ora, poiché non esistono ulteriori poli per ip(x), quest'equazione integrale 

 non deve avere alcun polo; per conseguenza è necessario e sufficiente che 

 sia identicamente ip m {x) — 0, e allora la (11) si riduce a: 



(13) ip(x) = X f n ^ ( 4- f f(x) cp n (x) dx . 

 Dalla (12) segue ancora: 



(14) Jk(x , ij) f{y) dy=f_nY n 9»( x )ff( x ) fn{x) dx , 



ovvero : 



K(« , y) f{y) dy = J_ n g> n (x) Jj K{x , y) f(x) <p n {y) dx dy ; 



ponendo : 



(15) g(x)=jK(x,y)f(y)dy, 

 avremo : 



m r 



(16) g{x) = cp n (x) J g(y) <p n {y) dy. 



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