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3. Supponiamo ora che esistano infiniti poli, e, disposti in ordine di 

 grandezza crescente rispetto al loro valor assoluto, siano li , 1% , . . . Allora, 

 ricordando anche la (2), le (13), (14), (16) diventano: 



(13') <f(x) = f(x) + l f_ n \m dx 



(14') [k(x , y) f(y) dy=f n y (p n (x) \ f(x) <p n {%) dx 



oo f 



(16') g(x) = X n <Pn(x) J g(x) (p n (x) dx , 



ove g(x) è ancora espresso dalla (15). 



Le varie serie che figurano nei secondi membri sono assolutamente ed 

 uniformemente convergenti, e ciò risulta subito, come osserva lo Schmidt, 

 dal teorema di convergenza dato al § 2 della sua Memoria. È poi assai 

 facile verificare che la (13') soddisfa effettivamente alla (1). 



La (13') è dovuta a Schmidt, le (14'), (16') ad Hilbert ('). Queste for- 

 molo di Hilbert sono pure state ottenute da Schmidt nella sua Memoria, 

 con metodo del tutto diverso, e meno semplice, di quello qui esposto; da 

 esse egli ha poi dedotto la (13'). 



Dalla (14') risulta: 



0K(ar , y) h(x) f(y) dx dy=f_ n Y {h{x) g> n (x) dxjf{y) g> n (y) dy ; 



è questa una forinola fondamentale di Hilbert, che egli ha dedotto, mediante 

 passaggio al limite, dalla forinola di trasformazione di una forma quadra- 

 tica in forma canonica. 



Matematica. — Del legame fra l'equazione di Fredholm e 

 le equazioni differenziali lineari ordinarie. Nota del dott. Mauro 

 Picone, presentata dal Socio Luigi Bianchi. 



Il risultato principale ottenuto nella mia Nota : I teoremi d'esistenza per 

 gli integrali di un'equazione differenziale lineare ordinaria soddisfacenti 

 ad una nuova classe di condizioni, pubblicata in questi Rendiconti (15 marzo 

 1908), consiste nel dimostrare che l'integrale y(x , dell'equazione differen- 

 ziale lineare ordinaria 



(1) y™ = l l Pl ( X ) y^ H 1- p n (x) y] + f(x) 



soddisfacente alle n condizioni lineari 



(2) X Ca lk (T) y^\v) dx = U (i = 1 , 2 , . . . , n) 



ft=l J a 



(*) Hilbert, Grundziige einer allgemeinen Theorie der Unearen Integralgleichungen; 

 I Mitteilung (Nachrichten von der KOnigl. Gesell. der Wissenschaften zu Gattingen, 1904). 



