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od anche alle altre: 



(3) y X my^M^h (« = 1,2,...,k), 



ft=l 1=1 



nelle seguenti ipotesi: 



a) nel tratto finito {a , b) le pi(x) e f{x) sono funzioni finite e continue, 



b) per le condizioni (2), le a in (r) sono funzioni di % integrabili nel 

 tratto (a , b) assegnate insieme alle quantità U , e per le condizioni (3) i punti 

 t m son di (a , b) in numero finito < >_ m ih , assegnati insieme alle quan- 



i , k 



tità ava e £ { , 



c) esiste uno ed un sol polinomio in x di grado n—l soddisfa- 

 cente alle condizioni (2) o alle condizioni (3), 



è soluzione di una certa e facilmente costruibile equazione integrale di 

 Fredholm 



(4) y(x) + 1 Cf(x , f ) y{ì) dì = g>(x) , 



dove f{x , ?) e y(jc) sono funzioni finite e integrabili dei loro argomenti. 



E viceversa, nelle dette ipotesi, ogni soluzione dell'equazione (4) è 

 integrale dell'equazione (1) soddisfacente alle condizioni (2) o alle condi- 

 zioni (3). 



Questo teorema ci permette di rappresentare immediatamente, in grazia 

 della formula risolutiva data dal Fredholm dell'equazione (4), l'integrale 

 y(x , l) come quoziente di due trascendenti intiere in l , nel quale quoziente 

 è numeratore una trascendente intiera in l avente come coefficienti delle 

 varie potenze determinate funzioni della re, ed è denominatore il determi- 

 nante T)\f dell'equazione (4). 



La possibilità di una tale rappresentazione dell'integrale y(x , X) , anche 

 quando non si verifichi l'ipotesi e), è del resto cosa ovvia dopo il teorema 

 di Picard (*), secondo il quale un integrale della (1) determinato coll'asse- 

 gnare nel punto a i valori di 



y,y',...,y^ 



è, rispetto a A, una trascendente intiera in tutto il piano complesso. 



Scopo della presente Nota è di dimostrare che l'ipotesi c) oltreché, come 

 si è visto, sufficiente, è necessaria per la validità del nostro teorema; di 

 dimostrare cioè che : 



Ove non esista uno ed un sol polinomio in x di grado n—l soddi- 

 sfacente alle condisioni (2) o alle condizioni (3), la trascendente y(x , X) 

 non si può pensare soluzione di nessuna equazione integrale come la (4). 



(•) Picard, Traité d'A., t. Ili, pp. 92-93. 



