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Keputo tale risultato pubblicabile come necessario complemento alla mia 

 citata Nota e per la ragione ch'esso non viene messo abbastanza in luce 

 nella classica trattazione dell'Hilbert (') sulle equazioni differenziali lineari 

 ordinarie del second'ordine e che nella trattazione del Mason ( 2 ) sullo stesso 

 argomento sembra addirittura affermato, contrariamente a quanto qui dimo- 

 striamo, che la trascendente y(x , X) integrale dell'equazione 



^ + lk{x)y = f{x), 



soddisfacente alle condizioni 



\_ dx ^\ x=a dx^ cc = b 



o alle altre 



condizioni che non verificano l'ipotesi c), è soluzione di un'equazione inte- 

 grale come la (4). 



In ultimo, al § 3, è osservato che i risultati della citata mia Nota 

 permettono, per valori di X di modulo convenientemente limitato, un calcolo 

 per approssimazioni successive dell'integrale della (1) soddisfacente alle con- 

 dizioni (2) o alle (3), supponendo che le ipotesi a), b) e c) siano verificate. 



§ 1. 



Ricordiamo che nel citato teorema di Picard è dimostrato che, supposto 

 che l'integrale rj(x , X) della (1) determinato dalle condizioni iniziali 



I ~ì>^ \x=a I ~èX n ~ 1 \oc=a 



sia rappresentato dalla serie 



^(aO + ^M f-^)^+..-, 



questa, per qualunque valore di X, è, rispetto ad x , uniformemente e asso- 

 lutamente convergente in (a , Il Dini ( 3 ) completò questo teorema osser- 

 vando di più che anche le serie 



( 1 ) Hilbert, Gottinger Nachrichten, zweite Mitteilung, 1904, Heft 3. 



( 2 ) Masen, Zur Theorie der Randwertaufgaben, Math. Ann., 58 Bd. (1904), S. 528. 



( 3 ) Dini, Annali di Mat., t. XII, S. Ili, pag. 179 e seg. 



