— 461 — 



per qualunque valore di X , sono, rispetto a x , uniformemente e assoluta- 

 mente convergenti in (a , b), per modo che si potrà porre : 



Ciò ricordato, diciamo rj\ , iy 2 , ^„ un sistema di integrali indi- 

 pendenti dell'equazione omogenea 



(5) y M = X l Pl (x) y in -v -\ 1- p n (x) y~\ , 



e un integrale particolare dell'equazione (1); l'integrale generale della (1) 

 sarà rappresentato dalla combinazione 



r\{x , X) -f- d rj^x , X) -) 1- c n rj n (x , A) , 



dove Ci , (?2 , . . . , c n sono le w costanti arbitrarie. 



Le condizioni (2) o le condizioni (3) si traducono in n equazioni lineari 

 nelle c x , e % , . . . , c n , i cui termini noti e il cui determinante risulteranno 

 delle trascendenti intiere in X . Diciamo J(X) questo determinante. Per ogni 

 valore di X per cui sia J{X) ={= 0 , la trascendente y(x , X) , integrale della 

 (1) soddisfacente alle (2) o alle (3), verrà pertanto certamente rappresen- 

 tata da 



y(x , X) = 7)(x , X) + j-j- [c^X) Vl (x , X) -j [- c n (X) rj n (x , A)] , 



dove Ci{X) , c 2 (X) , . . . , o n {X) rappresentano altrettante trascendenti intiere. 

 Poniamo 



1 



y(oc , X) = [C\(X) rj. x \x , X) -| \- c n (X) r] n (x , X)~] 



e supponiamo che le serie di potenze 



T li,X v (i = 1 , 2 , . . . , 



v= 0 



rappresentino i risultati delle operazioni indicate dai primi membri di (2) 

 o di (3) fatte su rj(x , X) . 



La trascendente y(x , X) sarà l'integrale della (5) soddisfacente alle con- 

 dizioni (2) o (3) dove al posto delle k vi sono le quantità 



li — 2 hi ^' • 

 § 2. 



Supponiamo che non sia verificata l'ipotesi c), supponiamo cioè che 

 non esista un polinomio in x di grado n — 1 soddisfacente alle (2) o 



Rendiconti. 1908, Voi. XVII, 1° Sem. 59 



