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alle (3) con le k affatto arbitrarie ; allora la trascendente y(x , X) avrà 

 di necessità un polo nell'origine. 



Difatti, supponiamo che, nella detta ipotesi, la y(x , X) non abbia un 

 polo nel punto zero ; allora la y(x , X) avrà un punto ordinario nel punto 

 zero e perciò, in un conveniente intorno di questo punto, essa ammetterà 

 uno sviluppo procedente secondo le potenze intiere, positive e crescenti di X. 



Si abbia : 



(6) y{x , X) = y 0 {x) + y^x) X -\ f- 3^0*0 



Poiché è 



y{x , X) = — - T c h {X) ^(x , X) = -— Y c n {X) J_ ^(x)^ , 

 e pel teorema di Dini 



l> i y(x,X) _ 1 ^ 



1 ft=n N=oo Ji 



posto che sia, nel nominato intorno dell'origine : 



%^=Zy^)^ (^-0,1, nf, 



si avrà 



"àie 1 



d i y s (x) 



y h {x) 



dxJ 



e quindi 



Introduciamo la (6) e le (7) nella (5); se ne ricaverà: 

 (8) yfr\x) = 0 



= Pi(x) y ( r l \x) H 1- y v (aj) (v = 0 , 1 , . . .)• 



Introduciamo la (6) e le (7) nelle (2) o nelle (3), dove al posto delle k 

 vi sono le quantità k — ^l^X v ; se ne ricaverà che la funzione y 0 (x) sod- 

 disfa alle (2) o alle (3), dove al posto delle k vi sono le quantità k — l i0 , 

 e che le funzioni y^(x) (v > 0) soddisfano alle (2) o alle (3), dove al posto 

 delle li vi sono le particolari quantità — lu • 



