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Ora la y a (x), come dice la (8), è un polinomio in x di grado n — 1 . 

 Per cui l'ipotesi che y{x , l) non abbia un polo nell'origine, porta all'esistenza 

 di un polinomio in x di grado n — 1 soddisfacente alle (2) o alle (3), dove 

 al posto delle k vi sono le quantità k — l i0 , il che, per l'arbitrarietà delle 

 li — ito » dovuta all'arbitrarietà delle U , è assurdo. 



La trascendente y(x , A) , ove l'ipotesi c) sia in difetto, non potrà dunque 

 essere soluzione di un'equazione integrale come la (4), poiché una soluzione 

 della (4) non ha mai un polo nel punto zero. Si osservi invero che il deter- 

 minante T)\f della (4) ha lo sviluppo: 



Col nostro ragionamento si può dunque affermare che nel difetto 

 dell'ipotesi e) la trascendente si annulla nell'origine, e che se fi è l'ordine 

 di questo zero di J(X) , fi -> 1 , fra le c%(ty ve ne ha almeno una che nel- 

 l'origine ha uno zero d'ordine < fi . 



Supponiamo, in quest'ultimo paragrafo, verificate le ipotesi a), b) e e). 

 Diciamo g(x) il polinomio in x di grado n — 1 soddisfacente alle condizioni 

 (2) o alle (3), e diciamo G(x , ?) la funzione di Green relativa alle con- 

 dizioni: 



1 -j- X \ f{x x , Xi) dxi -j- 



2 ! 



Ja f(x 2 , Xi) f{x 2 , Xz) 



dxi dx 2 -(-••• 



§ 3. 



(9) 



o alle altre 



(10) 



»=i i=i 



Se <p(x) indica una funzione finita e continua in (a , b), posto: 



a 



si avrà 



y ( - n \x) == <p(x) 



e la y(x) soddisferà alle condizioni (2) o alle (3); mentre, posto 



a 



(!) V. la mia citata Nota. 



