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la y(x) soddisferà alla stessa equazione differenziale e alle condizioni (9) o 

 alle (10). 



La trascendente y(x , X) , integrale della (1) soddisfacente alle (2) o 

 alle (3), essendo soluzione di un'equazione integrale come la (4), non ha un 

 polo nel punto zero. Perciò, per valori di X di modulo convenientemente limi- 

 tato, la y(x , X) ammetterà uno sviluppo procedente secondo le potenze posi- 

 tive, intiere e crescenti di A. Si abbia 



y(x , X) = y 0 (x) + y x {x) X H \- y^(x) X v -] 



Si avrà 



~òx l v 4- 0 dx l 



Introducendo questi sviluppi nella (1) e nelle condizioni (2) o (3), si 

 trova che fra le y^{x) sussistono le relazioni 



yf\x) =f(x) 



y<?Ux) = Pl (x) tr X) {x) H \- p n {x) y,(x) (v = 0 , 1 , . . .) 



e che la y 0 soddisfa alle condizioni (2) o (3), mentre le y v (v > 0) alle (9) 

 o (10). Queste relazioni permettono un calcolo ricorrente per le y u • Si avrà 

 infatti : 



y 0 (x) = g(x)+ Vùix, £) /(!) fé 

 y^(x) = f b G(x , |) Ip^y^»® -\ hj»n(£)y,(?)] té . 



J a 



Possiamo dunque affermare che : 



Per valori di X convenientemente limitati di modulo, la trascendente 

 y(x , X) può essere calcolata con un metodo di approssimazioni successive. 



Precisamente, se q è il modulo dello zero di D\f di minimo modulo, il 

 metodo delle approssimazioni successive per il calcolo di y(x , X) può essere 

 certamente adottato pei valori di X per cui è |^|<C(? ■ 



Tale metodo, per n = 2 , coincide perfettamente con quello classico adot- 

 tato da Picard (*) per ottenere un integrale dell'equazione 



0 + U(^ = O, 



soddisfacente alle condizioni ai limiti 



y(a) = a , y{b) = p . 



O Picard, Traité d'A., t. Ili, chap. VI. Vedi anche il cap. IV della mia tesi di 

 laurea: Su un problema al contorno nelle equazioni differenziali lineari ordinarie del 

 secondar dine; Annali della E. Scuola Normale Superiore di Pisa, voi. X. 



