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Indichiamo infatti con 2 il sistema continuo completo cui appartiene 

 |D| e ricordiamo il teorema (di Enriques) secondo cui è completa la serie 

 caratteristica di 2 



Sia D 0 una generica D, e G il gruppo comune a C , D 0 . Denotiamo 

 con 2 0 il sistema algebrico formato dalle curve di 2 passanti per G: in 

 forza del teorema ricordato, la serie lineare completa residua di G rispetto 

 alla serie caratteristica di D 0 — la qual serie residua contiene totalmente 

 quella segata su D 0 da |E| — è staccata su D 0 , fuori di G, dalle curve 

 di 2 0 infinitamente vicine a D 0 . 



Ciò posto, vediamo com'è costituito il sistema 2 0 . Anzitutto ad esso 

 appartiene il sistema ^ , di tutte le curve di 2 che contengono come parte 

 C . Dico che, toltone 2 X , in 2 0 restano un numero finito di sistemi lineari. 



Dovremo perciò provare che le curve di 2 0 che non contengono come 

 parte C , appartengono ad un numero finito di sistemi lineari. Tali curve 

 segnano su C il gruppo G, e appartengono quindi alla varietà algebrica H 

 costituita dalle curve di 2 che staccano su C gruppi equivalenti a G. 



Ora, la varietà H è formata da un numero finito di varietà irriducibili, 

 ciascuna delle quali, essendo costituita da curve che staccano gruppi equi- 

 valenti sopra una curva. C , atta a definire un sistema continuo di grado ^> 0 , 

 è contenuta totalmente in un sistema lineare (anzi nel caso attuale forma 

 addirittura un sistema lineare) ( 2 ). 



Si conclude pertanto che il sistema 2 0 costituisce una varietà riducibile, 

 composta dal sistema 2^ e da un certo numero di sistemi lineari 



|D 0 |,|D 1 |,...,|D S |, 



tra i quali havvi il sistema |D 0 | delle curve D che passano per G ( 3 ). 



Ne deriva che le curve di 2 0 infinitamente vicine a D 0 , appartengono 

 tutte quante al sistema lineare |D 0 |, perchè tali curve non possono appar- 

 tenere nè ai sistemi |Di| , . . . , [D s | distinti da |D 0 |, nè al sistema 2 t le cui 

 curve contengono tutte una parte non infinitamente vicina a D 0 . 



Il sistema lineare |D 0 |, col gruppo base assegnato G, ha dunque la 

 serie caratteristica completa. 



Ora, se r-\-\ è la dimensione di |D 0 |, la dimensione di |E| risulta 

 uguale ad r , perchè basta imporre alle D 0 di passare per un punto generico 



(*) Enriques, Sulla proprietà caratteristica delle superficie algebriche irregolari 

 (Rend. della R. Acc. di Bologna, dicembre 1904); ved. pure Severi, Intorno alla costru- 

 zione dei sistemi completi non lineari che appartengono ad una superficie irregolare 

 (Rend. del Circolo mat. di Palermo, t. XX, aprile 1905). 



( a ) Severi, Osservazioni varie di geometria sopra una superficie algebrica e sopra 

 una varietà (Atti del R. Istituto veneto, t. LXV, aprile 1906), n. 2. 



( 3 ) La varietà spezzata 2 a è però connessa, in quanto ciascun sistema |Dj| ha co- 

 mune con 2 t un sistema lineare di dimensione inferiore di un'unità rispetto a quella 

 di |D;|. 



