— 467 



(1 i C , per ottenere tutte le D che contengono come parte C . La dimensione 

 della serie g segata da |E| su D 0 , uguaglia quindi la dimensione della serie 

 caratteristica di |D 0 |: ne deriva che le due serie coincidono, cioè che la 

 prima è completa. 



Se i sistemi |D|,|C| posseggono punti base assegnati, si ricade subito 

 nel caso precedente mediante una trasformazione che muti quei punti base 

 in curve eccezionali, a condizione però che i punti base di |D| si assegnino 

 con la loro molteplicità effettiva. 



Possiamo pertanto enunciare il teorema seguente: 



Avendosi sopra una superficie algebrica due sistemi lineari com- 

 pleti irriducibili |C| , |D| — di cui il primo può anche essere oo° , 

 purché C sia in tal caso atta a definire un sistema continuo di grado 

 > Q — se esiste il sistema |D — C|, esso sega sopra una generica D 

 una serie lineare completa. 



Quanto ai punti base_. si tenga presente che |D| deve essere privo di 

 punti base ipermultipli. 



Osservazione. — Nel corso del ragionamento abbiamo imparato a co- 

 struire sopra una superficie irregolare un sistema lineare irriducibile colla 

 serie caratteristica completa: è il sistema |D 0 |. 



2. Si mantengano le notazioni e le ipotesi introdotte al principio del nu- 

 mero precedente, e si supponga di più che il sistema |E| sia regolare; in tal 

 guisa che la sua dimensione risulterà espressa da 



(!) r = n — 7t-\-p a -\-l, 



ove n , n denotano il grado e il genere virtuali di |E|, e p a il genere aritme- 

 tico di F. 



La dimensione del sistema |C'| aggiunto alla curva C, virtualmente priva 

 di punti base, è data da 



Q = w — l+p a -\-€ (f^iO), 



ove vs è il genere virtuale di C. Poiché il sistema [E -}- CT| è aggiunto a [D|, 

 le curve C segneranno su D 0 gruppi residui della serie g rispetto alla serie 

 canonica: l'indice di specialità di g risulta pertanto espresso da 



i = q 4- 1 rj ( V > 0) . 



Quanto all'ordine della serie g , esso è evidentemente eguale ad n-j-j, 

 ove j denota il numero dei punti di un gruppo (E , C) onde la dimensione di g , 

 cioè del sistema |E| , viene uguale a 



r = n -hi— « -R = n -j-j — a + Txs -J- p a -f- e -{- v , 



a indicando il genere di D 0 . 



