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In una recente Nota di L. Orlando ( x ) sono, infatti, stabilite le basi 

 della formula integrale di Pourier, con condizioni meno restrittive di quelle 

 imposte nell'opera su citata. 



La dimostrazione si fonda essenzialmente sull'osservazione che l' inte- 

 grale 



/(a) = | (p{l) cos al di (c > 0) 



J c 



per ogni valore di a > 0 è una funzione continua, quando cp(l) tenda a 

 a zero per X infinito, e sia monotona per l — r. . 



Questa continuità non potrebbe essere dedotta dai teoremi generali con- 

 tenuti nell'ottimo libro del Riemann- Weber, perchè ivi, sulla continuità di 

 un integrale rispetto ad un parametro, sono dimostrati soltanto i tre teoremi 

 che ora enunceremo : 



1°) quando f(x , y) è una funzione continua di x , y, allora l' inte- 



graie I f(x ,y)dx è una funzione continua di y ; 



J a 



2°) quando l' integrale I ip(x) dx converge assolutamente, e quando , 

 g>(x,y) è una funzione contenuta in limiti fissi, e tale che, per ogni valore finito 

 di x, sia una funzione continua di x,y, allora l' integrale I tp(x) y>(x,y)dx 



J c 



è una funzione continua di y; 



3°) quando I (f(x) dx converge, ed è tp(x) una funzione che tende 



a, zero per x infinito ed è monotòna per x = c , allora, se a tende a zero 

 per valori positivi, sarà 



tp(x) tp(a x) dx = xp (0) <p{x) dx . 



a J c 



Nessuno di questi teoremi può permetterci di decidere se f(a) sia o 

 no una funzione continua, per ogni valore di a 0. 



Per questa considerazione, non crediamo che sia inopportuno aggiungere, 

 come complemento a questi tre teoremi dimostrati nel Riemann-Weber, la 

 soguente proposizione : 



A) Supponiamo che (p{x) sia una funzione limitata, monotòna per ogni 

 valore di x = c, e che essa tenda a zero per x infinito ; supponiamo inoltre 

 che, per ogni valore di h abbastanza vicino a zero, si possa scrivere 



|K(a; , y + h) + K(x , y)|< w , 



(*) Sulla formula integrale di Fourier. Rend. della R. Accademia dei Lincei. 

 Voi. XVII, fase. 6° e 8° (2° sem. 1908). 



