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dove a> è un numero positivo, indipendente da x e da y, fissato ad arbi- 

 trio; sia inoltre, per ogni coppia di valori p e q, non inferiori a e, l'inte- 

 grale I K(cc , y) dx contenuto in limiti fissi, indipendenti da x e da y, e 

 anche da p , q. Con queste ipotesi, noi dimostreremo che l' integrale 



F(y) = f (f(x) K(x , y) dx 



J c 



è una funzione continua di y. 



Incominciamo a spezzare l'integrale ~F(y) nel seguente modo : 



(1) F(y)= f <p(ce) K(x , y) dx = )<p(x) K(x , y) dx -f- f 5p(a;)K(a;,2/)rfa; 



ed osserviamo che, per il secondo teorema della media, possiamo scrivere: 



(2) J <p(cc) K(x , ete = (p(y) J K(x , y) dx -\- <p(v) J K(x , y) dx 



dove ? è un valor medio fra y e v. 



Se facciamo tendere v all' infinito, allora 9>(r) tende a zero; ma abbiamo 



ri 



anche detto che K(x ,y) dx è contenuto in limiti fissi: dunque è chiaro 



che esiste un numero positivo fisso M , maggiore del valore assoluto di questo 

 integrale. 



Queste osservazioni ci permettono di stabilire la formula: 



I (f(x) K(x , y) dx 



U y 



<\<p(x)\M. 



Se y è fissato abbastanza grande, allora si può asserire che, per ogni valore 

 di y, è g>(y) minore di dove e è un numero positivo fissato ad arbi- 



trio; dunque sarà, evidentemente, 



(3) 



<p(x) K(x ,y -j- h)d% — <p(se) K(x , y) dx 



<1 



Consideriamo ora l'altro integrale j ~*g>(x) ~K(x ,y)dx, che figura nella 



formula (1). Esso è una funzione continua di y; infatti, abbiamo posto la 

 condizione che, per h abbastanza vicino a zero, si possa scrivere 



|K(a5 , y + h) — ~K(x , y) |< « ; 



