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quindi possiamo determinare oo in modo che sia 



s 



2M I )g>(x)\dx 



J c 



Questo ci permette, evidentemente, di scrivere, insieme con la (3), anche 

 la formula: 



J ^ y>{x) K(x ,y-\-h)dt — J g>(x) K(x , y) dx 



e di dedurre subito l'altra 



(p(x) K(x ,y-\-h)dx — I g>(x) K(x , y) 



c J c 



dx 



Questa inuguaglianza, che vale per ogni valore di h abbastanza vicino a 



zero, dimostra la continuità dell'integrale F(y) = ) g>(x) K(x , y) dx ri- 



spetto alla variabile y. 



Dal teorema che abbiamo ora dimostrato risulta subito la continuità 



J" 00 

 <p(X) cos al di , per ogni valore di a maggiore di zero, 

 c 



Risulta anche la continuità dell'integrale F(a) — J ^ _|_ p dX per 



ogni valore di a; quest'integrale ha, come l'altro, importanza nell'inver- 

 sione di alcuni integrali definiti. 



Dalla dimostrazione che abbiamo data si vede che non è strettamente 

 necessario supporre che (p(x) sia sempre monotòna per ogni x = o. Basterà 

 che g>(x) sia monotona per x = m, dove m è un numero fisso =c. Infatti, 



n 



è una funzione continua di y, per il teorema 1° che abbiamo richia- 



c 



J^oo 

 applicheremo il criterio rap- 

 m 



presentato da A). 



Vogliamo accennare ad una conseguenza del teorema ora dimostrato. 

 Sia a x , a 2 , a 3 , . . . una successione monotòna avente il limite zero ; e sia 

 u x {y) , u 2 (y) , u 3 (y) , . . . una successione di infinite funzioni della variabile y, 

 tali che s n (y) = Ux(y) + u t (y) + • • • + u n (y) si mantenga sempre, per 

 quanto cresca n, in limiti fissi, indipendenti da y. 



Se noi assumiamo <f{x) = a l per l^=rcc<2, poi cp(x) = a% per 

 2 = »-<3, ecc.; e se assumiamo K(x , y) = u x {y) per l=x-<2, poi 

 ~K.(x , y) = Ui(y) per 2^±cc-<3, ecc.; allora possiamo senz'altro dire che 

 la serie 



«i + «2 My) + «3 u 3 (y) ^ — 



rappresenta una funzione continua di y. Questo risultato si può anche, in 

 modo semplice, stabilire direttamente. 



I 



