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 2. Il determinante delle (2) è 



(7) 



ui -f- m u-n ui 

 u% Un -f- m ux, 

 Uj- u-n ux, + m 



e l'equazione caratteristica per gli elementi uniti è, invece, 



u%-\-m — e Mvi ms 



Wy, UX, + W8 — C 



(we — (»i + Wn + mì; -f- ^9 — a) = 0 . 



Da ciò si vede di nuovo, dopo aver constatato che a = m annulla i 

 minori del 2° ordine di J(g), che le (2) rappresentano un'omologia. 



3. Le omologie Sì dipendono linearmente dai parametri u% ,u-n ,ux, ,w, 

 e sono tutte le omologie del piano e = XTZ che hanno in comune il centro 

 nel punto (6). 



Alla omologia Sì data dai parametri u* , u-r, , ux, , m , facciamo corrispon- 

 dere il piano u[,u' 2 ,u' s , u\ dato dalle formolo : 



(8) 



C Ui = U x , &U 2 — Ui , <JU Z = U 3 , GUi === w 4 ; 



avremo una omografia nella quale il piano corrispondente di una data omo- 

 logia contiene l'asse di questa ; poiché, come si deduce da (3) , le coordinate 

 di un punto di tal asse sono, per i — 1 , . . . , 4 : 



Si = IJi + + , 



e si ha: u' s = ^ug -\- A 2 Un -\- hux, = 0 . 



4. In grazia di (7) le omologie degeneri del gruppo si hanno allorché 



m = 0 , o u\ -j- Un ~\~ ux, -J- Mg = 0 ; 



i piani corrispondenti formano due stelle coi centri nei punti di coordinate 



% e + + = + (f=== 1 , . . . , 4), 



cioè in due punti T,V allineati col centro U, comune alle omologie del 

 gruppo. I piani comuni alle due stelle rappresentano le omologie doppia- 

 mente degenerate del gruppo stesso, cioè le omologie in cui ogni punto del- 

 l'asse (il quale ora passa per U) forma coppia con un punto qualunque 

 dell'asse stesso, in cui ogni punto del piano forma coppia con U, ed in cui 

 U forma coppia con un punto qualunque del piano. 



