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5. Le formule della omologia inversa di una data sono: 



X[ Un UX, 

 & Uò -f- Un u\ 

 X' 3 Un m -f- Un 



= (u% -f- Un + Ur) X[ — Un X' 2 — . X' 3 



= — u\k\-\- (uo -j- u% -}- e^) X\ — ut,. X' 3 

 rX' 3 == — ug X\ — Un K + (we 4~ + ^Yi) • ^3 • 



Per la coincidenza con le date occorre che si abbia 



&8 + V>1 — — (u T{ + UX, + Mft) 



+ ^v. — — { u K J r u l-\- U<s) 

 m-\-ui = — (up -\-Un-\- m) ; 



ovvero : 



M £ + U-n + M S + 2^6 = 0 . 



I piani corrispondenti formano una stella col centro nel punto W , alli- 

 neato coi punti 



u = u ì + + «c = 0 , T = «| -f- «„ -f ^ + M9 = 0 , V = m = 0 



e separante, insieme ad U, armonicamente T e V, come si vede chiarissi- 

 mamente dall'essere (simbolicamente) 



U = T — V , W = T + V . 



Ciò concorda con quanto venne detto alla citata M a . del 1904 sulla rap- 

 presentazione delle omologie armoniche del gruppo. 



6. Le omologie corrispondenti ai piani della stella (T), cioè ai piani pei 

 quali è m — 0 , degenerano in guisa che mentre in ognuna U corrisponde 

 ad un punto qualunque, ad un punto situato sull'asse corrisponde un punto 

 qualunque del raggio che lo proietta da U. Le omologie corrispondenti ai 

 piani della stella (V), cioè ai piani pei quali u% -J- Un -f- ur, + m = 0 , de- 

 generano, invece, in guisa che in ognuna U ha per corrispondente un punto 

 qualunque, ed un punto dell'asse è il corrispondente di un punto qualunque 

 del raggio che lo proietta da U . 



Combinando questi due fatti con quanto venne già rilevato in fine del 

 n° 4, e che, del resto, è conseguenza dei fatti stessi riuniti insieme, si ha 

 che, preso ad arbitrio un punto A nello spazio, e tracciati per A i piani 

 ATV = a , ATB = /? , AVB = y, dove B è un punto qualunque fuori di a, 

 se si pone 



a(a,p,y) = a,b' , e" 

 a(b', c") = A', A" , 



sarà (A/, A") la coppia comune alle tre omologie rappresentatrici dei piani 



