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Matematica. — Sulla Astatica nello spano a 4 dimensioni. 

 Nota del prof. A. Del Re, presentata dal Socio V. Cerrutt. 



Se in uno spazio ad n dimensioni S„ , ai punti M x , M 2 , . . . , di un 

 corpo rigido 2 sono rispettivamente applicate le forze I\ , F 2 , . . . , , e si 

 fa subire ai punti all' infinito delle linee d'azione di queste forze una tra- 

 sformazione omografica equivalente ad una sostituzione lineare destrorsa che 

 conservi l'assoluto, il problema di cercare in quale posizione le forze si fanno 

 equilibrio sul corpo, allorché quella trasformazione omografica si fa variare 

 con continuità, può essere considerato come il problema generale della Asta- 

 tica in n dimensioni. 



Come in S 3 , così in S„ per n^>3, si può supporre che il corpo 2 sia 

 dotato di un punto fisso 0, e come in S 3 , così in S n , invece di far subire 

 ai punti all' infinito delle linee d'azione delle forze, la trasformazione omo- 

 grafica Sì con le qualità suddette, si possono tener ferme le singole direzioni 

 delle forze e far subire al corpo supposto rappresentato da una n — pia 

 ) di assi due a due ortogonali lo spostamento attorno ad 0 

 equivalente a quella trasformazione omografica 9? che risulta dal proiettare 

 da 0 la inversa della trasformazione Sì. 



Se sopra una direzione fissa h, invariabilmente legata alle varie dire- 

 zioni delle forze si proiettano queste in , H 2 , . . . , H n , si avrà un sistema 

 di forze parallele, il quale, qualunque sia la Sì, sarà sostituibile con una 

 forza unica H == 2 F ; - . cos (F £ , h) , applicata in un punto H (centro del 

 sistema). Così, ad ogni punto all' infinito corrisponde un punto unico e ben 

 determinato che si chiamerà la sua immagine astatica, ovvero immagine 

 astatica della direzione h che definisce quel punto. Col teorema dei momenti 

 si dimostra che se un punto all' infinito descrive una retta (una direzione 

 varia appartenendo sempre ad una data giacitura) l' immagine astatica corri- 

 spondente descrive a sua volta una retta in dipendenza proiettiva con quella. 

 E da ciò segue, senz'altro, che le immagini astatiche di tutte le direzioni 

 coprono, in generale, un S„_i , a , omograficamente riferito all' S n _! , g', all' in- 

 finito. Si chiamerà a V S n _! centrale del corpo ; ed è, evidentemente, a fisso 

 nel corpo stesso. La omografia T fra e e e' si chiamerà omografia di posi- 

 zione del sistema delle forze rispetto al còrpo, e si considererà come passaggio 

 dai punti di a' ai punti di o\ 



Per mezzo di r, all'assoluto corrisponde in a una quadrica immaginaria 

 ad b — 2 dimensioni, in generale, Q„_ 2 , e ad una piramide auto-polare 

 rispetto a quella una piramide auto-polare rispetto a questa ; opperò, decom- 

 ponendo il dato sistema di forze secondo n direzioni due a due ortogonali 

 Rendiconti. 1908, Voi. XVII, 2° Sem. 89 



