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denti permettono rispondere che, se un punto 0 con tale qualità esiste, il 

 sistema polare II ha infiniti tetraedri auto-polari comuni con la quadrica Q 2 ; 

 epperò l'omografia risultante dalla composizione di H con Q 2 sarà biassale 

 (con due assi di punti e piani uniti) od omologica. Questo secondo caso può 

 presentarsi solo quando Q 2 sia di rotazione ; il primo, invece, può aver luogo 

 sempre, e si ha precisamente allorché Q 2 è quadri-toccata dalla sfera centrale 

 di //(in coppie di punti di due sezioni principali). Ora, si supponga Q 2 riferita ai 

 suoi assi, e che siano a , p , y le coordinate del centro di H ed id (i = y — 1) 



11 raggio della sfera corrispondente ; saranno 



(1) i? + ^ + $+ 1 = 0 



(2) (x - a) (x' - a) + (y - /?) (f - p) + (* — y) [z - y) + d* = 0 , 



dove (a? ,y , z)., (x, y r , z) sono coordinate di punti coniugati, le equazioni dei 

 sistemi polari Q 2 , //; sicché, posto 



(3) h 2 = a 2 + p -f- y 2 + d 2 , 



l'omografìa risultante dal prodotto di tali sistemi polari sarà rappresentata 

 (in coordinate planari) dalle equazioni 



— X 2 u -j- ce 

 l 2 ct . u -j- ft 2 /S . v -f- v 2 y .tv — h 2 



— /ii 2 v + /g 



A 2 a . u -j- /x 2 p . v -|- v 2 y .w — h 2 



— v 2 io -\- y 



X 2 a . u -f- /A 2 /? . v -J- v 2 y . w — h 2 ' 



e l'equazione caratteristica corrispondente sarà (in 6): 



= {l ÌJ r6) {fjL 2 +d) (v 2 +d){h 2 +6)+ 



— l 2 a 2 {/n 2 + 6) (v 2 + 6) + 



— fi 2 p 2 {v 2 + 0) \l 2 + 6) -f 



— v 2 y 2 (X 2 -\-d) (fi*-\-tì) = 0. 



Supponendo, ciò che è il caso generale, Q 2 non di rotazione, supporremo 



1 2 > fi, 2 > v 2 ; e da quanto si è detto risulta che la omografia (4) sarà della 

 specie richiesta se due radici della (5) annullano tutti i minori del 3° ordine 

 del determinante (5) senza annullare quelli del 2° ordine; e che ciò può 

 avvenire in ciascuno dei tre casi seguenti: 



(5) 



X 2 — 



9 0 



0 



— in 2 



0 



0 



X 2 a 



a 2 



V 



U a 

 0 /? 

 2 — tì y 



— h 2 — e 



v 2 y 



1°. p = y = 0 ; 2°. y = a = 0 ; 3°. « = /3 = 0. 



