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dunque, svolgendo la (19) col tener conto che ¥ = a 2 -f d\ si deduce che 0 

 appartiene al luogo rappresentato dall'equazione 



(fx* — A 2 ) (p* — w 2 — i*) — X 2 ,c 2 = 0 ; 

 ovvero alla conica (del piano tx) : 



(20) -r^~ + ~ i — 1 = 0, 



che è un'iperbole se Q 2 è allungata, ed un'ellisse se Q 2 è schiacciata. 



La iperbole (8) e la ellisse (11), la iperbole (10) e la ellisse (13), la 

 iperbole (9) e la ellisse (12) sono ordinatamente nelle tre coppie di piani 

 tx ,ty;ty ,tz\tz , tx ortogonali due a due, focali luna dell'altra e focali 

 alla sezione principale della quadrica centrale i cui assi sono in quei piani. 

 Tali coniche, individualmente prese, sono ciascuna il luogo di un punto intorno 

 al quale sono possibili infinite posizioni nelle quali le forze sono sostituibili con 

 una coppia. L'ellissoide, o l'iperboloide (18), e la iperbole, o l'ellisse (20), 

 stanno rispettivamente in uno spazio ed in un piano perpendicolari fra loro ; 

 l'asse maggiore dell'ellissoide, o reale dell' iperboloide, è l'asse reale dell' iper- 

 bole, o il maggiore dell'ellisse ; i fuochi -dell'ellissoide, o iperboloide, sono 

 sull' iperbole, o sull'ellisse, ed inversamente ; la quadrica e la conica sono cioè 

 come diremo, focali l'ima dell'altra. La quadrica è luogo di un punto tale 

 che tenendolo fermo si possono dare alle forze infinite posizioni in ciascuna 

 delle quali le forze stesse sono sostituibili con una coppia ; la conica è invece 

 luogo di un punto intorno al quale sono possibili infinite posizioni di equilibrio. 



Eiassumendo abbiamo, dunque, l'enunciato seguente : 



1° Sono possibili oo 2 posizioni d'equilibrio, nel caso generale, sol- 

 tanto intorno a 4 punti del piano condotto per l'asse medio della quadrica 

 centrale normalmente allo spazio che contiene tale quadrica; e nel caso 

 in cui questa è di rotazione sono possibili co 3 posizioni di equilibrio in- 

 torno a ciascuno dei punti di una conica giacente nel piano normale a 

 quello spazio condotto per l'asse di rotazione, conica che è ellisse, o iper- 

 bole, secondochè la quadrica è schiacciata, o allungata. 



2° Esiste un luogo di punti tale che, fissando il corpo intorno ad 

 uno di essi sono possibili per le forze oo 1 posizioni, in ciascuna delle quali 

 le forze stesse si lasciano ulteriormente equilibrare da una coppia ; e questo 

 luogo è composto : 



a) nel caso generale, da sei coniche appartenenti per coppie ai tre 

 piani normali allo spazio centrale, condotti rispettivamente per gli assi 

 della quadrica centrale, delle quali quelle giacenti nel piano per l'asse 

 maggiore sono iperboli, quelle nel piano per l' asse medio sono l'una iper- 



