« Si ha dunque la seguente proposizione : 



« Teorema. — La classe di una curva algebrica qualunque 

 è uguale al genere della curva composta dalla curva data e 

 da una prima polare, diminuito della somma dei generi delle 

 anzidette curve, ed aumentato dell'unità. 



« Pel caso particolare di una curva d'ordine n dotata di ò punti doppi 

 e x cuspidi, si trova 



Pf=ì(n — l) (n — 2)-ó — y, p P = ±(n — 2) (» — 8), 

 p fl > = \ (2» — 2) (2n — 3) — Sé — 4 Z ; 



donde la nota forinola di Pliicker : 



m = n(n — 1) — 2d — 3/ . 



« 7. Analogamente, se vuoisi avere il numero dei flessi di una curva 

 algebrica /' = 0 dotata di singolarità qualunque, bisogna considerare le in- 

 tersezioni della medesima colla sua hessiana H = 0 che sono a distanza finita 

 da ciascuno dei suoi punti singolari (di moltiplicità 2). Ne segue che, in- 

 dicando con pf il genere della curva f=0, con p H il genere della curva 

 H=0 e con pf H il genere della curva composta /".H = 0, il numero dei flessi t 

 è dato parimenti dal teorema (8) ; si ha cioè : 



(10) i=p f b~pf—p s + \ . 

 - Cosicché : 



« Teorema. — Il numero dei flessi di una curva algebrica 

 qualunque è uguale al genere della curva composta dalla 

 curva data e dalla sua hessiana, diminuito della somma dei 

 generi delle anzidette curve, ed aumentato dell'unità. 



« Pel caso particolare di una curva d'ordine n dotata di S punti doppi 

 e % cuspidi, si trova 



p f =±( n — l)( n — 2) — ó — x , Pn = 7 (3*5 — 7) (3» — 8) — (?— 3x , 



p fn = \(4n—1) (4« — 8) — 8J— 12 Z ; 

 donde la nota formola di Pliicker : 



^^{n — 2) — 6J — 8*. 



« 8. La ricerca correlativa conduce ad analoghe espressioni per l'ordine n 

 e pel numero % delle cuspidi di una curva algebrica qualunque la cui equa- 

 zione f" = 0 è data in coordinate di retta. 



« Indicando rispettivamente con pp , p P r , p H r , p f , P / , p f , „/ i generi della 

 curva data, della curva-inviluppo prima polare di una retta, P' = 0 , della 

 curva-inviluppo hessiana, H r = 0, della curva-inviluppo composta f . P' = "0 

 e della curva-inviluppo composta f. H' = 0 , si hanno le formole : 



(11) > n=prJ'i—pr'— j?P' + 1 , 



(12) x= Pr n'—pr — jv + 1 . 



« Se le equazioni f = 0 , f === 0 rappresentano la stessa curva si ha, 

 come è notò, Pf = Pf- 



