« 5. Il Lemma che abbiamo dimostrato è suscettibile di un altro enun- 

 ciato che faremo tosto conoscere, in vista delle applicazioni a cui vogliamo 

 pervenire, le quali formano l'oggetto principale della presente Nota. 



« Conveniamo di chiamare genere di una curva composta 



A-A.../ s = o, 



il numero (positivo o negativo) 



1 (», + n 2 H \-n s — l) (m + n 2 H ^ _ 2) — Ef 



dove : n% è l'ordine della curva /* = 0 , E {s) è definito come ai nn. 2 e 3, ed 

 il segno sommatorio è esteso a tutti quei punti del piano, in ciascuno dei 

 quali una (almeno) curva / possiede una singolarità la cui moltiplicità è = 2. 



« Partendo da questa definizione, con procedimento affatto analogo a quello 

 adoperato nel numero precedente si perviene immediatamente alla seguente 

 proposizione : 



« Date s curve algebriche qualunque fi=0, f 2 =0, ... , f s —0, 

 rispettivamente dei gen eri p Y ,p 2 , ... , p s ; indicando con ék'a il 

 numero delle intersezioni delle curve f = 0 , fj = 0 che sono 

 a distanza finita da ciascuno dei punti singolari (di molti- 

 plicità 2) dell'una curva e dell'altra, e con p il genere 

 della curva composta f x ,f 2 ...f s =0, fra i numeri interi dij,pi,p 

 esiste la relazione 



n\ Z'^-.J + Z# =-p + s — l. 



^ ; i,j j 



iì Per s = 2 si ha 

 (8) d h2 =p —p x —p 2 + 1 . 



« 6. I punti di contatto delle tangenti condotte da un punto (y u ij 2 , y 3 ) 

 ad una curva algebrica 



/"= / \%\ i %2 > — 0 , 



dell'ordine u, sono, come è noto, le intersezioni di questa curva con un'altra 

 curva algebrica 



dfx . elfi . df 3 



dell'ordine n — 1 , prima polare del punto considerato. Se la curva f—0 

 ha un punto singolare A (di moltiplicità J=l 2) per questo punto passa, neces- 

 sariamente, la curva P = 0. Cosicché l'abbassamento della classe dovuto a 

 un punto singolare A è dato dal numero delle intersezioni ivi riunite delle 

 curve / = 0 , P = 0 . A ciò provvede il teorema (6) posto s = 2 . 



« Supponiamo, in generale, che la curva /=0 sia dotata di singola- 

 rità qualunque. Siano : pf il suo genere, p F il genere di una prima polare 

 P = 0 e pf P il genere della curva composta /.P = 0. Il teorema (8) for- 

 nisce allora immediatamente, per la classe m, V espressione : 

 (9) m =Pf P —Pf—Pv + 1 . 



