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« Possiamo dunque enunciare la seguente proposizione : 



Teorema. — Se s curve algebriche g> x •= 0 , y 2 = 0 , ... , f s = 0 

 passano, in modo qualunque, per un punto P; indicando 

 con l;j il numero delle intersezioni ivi riunite, di due di 

 esse g>i = 0 , (fj — 0 , con E; l' abbassamento del genere dovuto 

 alla singolarità [cj (della quale è dotata, in P, la curva 

 (fi — O) e con E (S) l'abbassamento del genere dovuto alla sin- 

 golarità composta [o"i -{- ff 2 -f- . . . -j- e - .,] , Den determinata, che 

 ne risulta, fra questi numeri interi esiste la relazione (6). 



« 4. Siamo ora in grado di dimostrare il Lemma. 



» Per rispondere alle ipotesi affatto generali dell'enunciato, si può supporre: 

 1° che vi siano nel piano r punti Pi ,P 2 , ... , P r -, a distanza finita fra 

 loro, e vincolati, tutti o in parte, da legami geometrici qualunque; 



2° che la curva generica fi, del sistema lineare [_fì] («=1,2, ... , s), 

 passi in modo qualunque per il punto P f r (i' — l, 2, ... , r), cioè (n. 2): 



a) la curva f possegga in P 4 / una singolarità qualunque, ben deter- 

 minata, \_<3i,i<~\ , 



b) nelle vicinanze del punto Pi' , fra i rami di due curve (fi , (fj (do- 

 tate rispettivamente delle singolarità [<*ì,ì'] , [ojy] ) intervengano, ulterior- 

 mente e comunque, dei mutui rapporti di contatto ; 



3° che fra varie singolarità [_<Ji,v~\ , esistenti in punti diversi Pj> , in- 

 tervengano, comunque, dei legami geometrici ('). 



« Come caso particolare l « s) curve / possono non passare pel punto 

 Pi' ii' = 1, 2, ... , r). 



« Se »i è l'ordine della curva f, indicando con Ifj il numero delle 

 intersezioni riunite in P^ di due curve f , fj e con E/' , E^ gli abbassamenti 

 del genere dovuti, rispettivamente, alla singolarità \js iti r~] (i=l, 2, ... , §) e 

 alla singolarità composta [a^y -J- a 2 ,i' -\ — -f- , esistenti nel punto P^, 

 si ha immediatamente : 



* . Ì « , i i , i # 



I* = 1 1 (* -1) 0v- 2)-II E^, 



i i i i' 



P = 7 (£* - 1) (£* - 2) — ZEf s) , 



da cui ricavasi, in virtù del teorema (6) e dell' identità (5), 



TVi, j + ÌLPi=P + s-Ì- C.V.D. 



(!) Può ben darsi che, pur essendo indipendenti fra loro più punti P, lo stesso non possa 

 dirsi delle singolarità ivi esistenti. Così, ad esempio, in due punti a distanza finita Pi , P 2 

 possono essere date due cuspidi appartenenti ad una stessa curva o a curve diverse, le cui 

 tangenti cuspidali coincidano. 



