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base semplici di (%) che trovansi a distanza finita dal punto P, cioè gli ulte- 

 riori punti d' incontro delle curve (pi = 0 , (pj — 0 (i , / = 1 , 2 -, ... , s) ; 



2° di punti base multipli ordinari (in particolare semplici) a tangenti 

 mobili, h\ , h 2 , ... , h r , pei quali la curva (ovvero xp'ì) passa, rispettiva- 

 mente, con , «;,2 , ••• , «»,r l'ami e la curva generica / del fascio (/) con 

 «1,1 + a M + • • • a s,i , «1,2 + «2,2 + • • • + « S ,2 «i,r + «2,r + ...'-{- ae- 

 rami (*). 



« Se ora indichiamo con _p il genere della curva mobile con 

 pi jj, = ,1 , 2 , . . . . s) il genere della curva y>\ (ovvero xp'i) e con Dy 

 (e , y = 1 , 2. , ... , « ; ?! < /) il numero delle intersezioni di due curve y'i , 9 j 

 (ovvero \p'i,ip'j) fuori dei punti base h? , (,?"— 1 , 2 , ... , r) , si avranno le 

 espressioni seguenti : 



2| = (L'i-l)(I"i-2)-JS «m' (Z «ì,ì' — lì , 

 2 =Z (t*i — 1) fa — 2) — Z Z «W («M' — 1) , 



i , i i i> 



Z Dy =^ ;tfj ,m] — X X «M' «./,«' , 



*|Ì U' U Ì' 



dalle quali, tenendo conto delle identità della forma 



(5) (Z^) 2 =Z^ 2 + 2Z^, 



\ i y i i,j 



si ricava facilmente la relazione 



Z Dy+ V ^— ^ = 



ij ì 



« Or siccome i numeri Dy , f i , sono invarianti per qualsiasi trasfor- 

 mazione Cremoniana, ne segue che nella relazione precedente possiamo sosti- 

 tuire ad essi le espressioni equivalenti nel piano 27 , cioè : 



Dy : = ni fij — Iy , 

 Pi^iim — iy(m — 2) — %, 



P = \ (X n i — !) (Z ^ — 2 ) — E <*> • 



Si ha quindi 



Z fa nj - Iy) +Z [i fa - 1) fa - 2) - Ej] - 



— ^i(Z«' — ^(Z^— 2j-E (S) ~|-s — 1 , 



da cui, in virtù dell' identità (5), la relazione : 



(6) E^-Z^-Zly^O (2). 



0) È bene inteso che il numero uì,ì> può essere zero. 



(-) Per s = 2 veggasi la Nota citata dei Comptes Eendus, t. CVII, ri. 17, p. 656. 



