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> [02] >••'., [fi-i] , [Cj+i] , . . . , [cj , e per la natura dei contatti dei 

 rami di y ; con quelli di ciascuna delle altre, curve </<i , g> 2 , ... , (fi-i , </;+i , ••• , (fs , 

 non sia possibile di descrivere la curva ausiliare i/.'j di cui sopra è parola. 

 Ciò accade, in vero, quando le condizioni assorbite dal punto P sono sufficienti 

 a determinare completamente la curva (fi (')• In tal caso, senza recar pregiu- 

 dizio alla definizione precedente, possiamo intendere sostituita alla curva (fi 

 un'altra curva </',-, di ordine più elevato, dotata della angolarità [xff\ , e 

 tale che, nelle vicinanze del punto P, tenga luogo della curva nel modo 

 come quest'ultima si comporta rispetto a ciascuna delle curve g 1 , <f 2 , ... , 

 (fi-y ,</;+!,..., (f s . Allora la curva (j/i ammetterà, necessariamente, un'ausi- 

 liare xp'i . Nella equazione (4) s' intenderanno sostituite queste due curve 

 a (f i e ipi. 



« 3. Indichiamo con 

 lùj il numero delle intersezioni di due curve (fi , (jj riunite nel 

 punto P ; 



Ej l'abbassamento del genere di una curva algebrica dovuto alla sin- 

 golarità componente [ej ; 



E (S) l'abbassamento del genere di una curva algebrica dovuto alla sin- 

 golarità composta [tfi -J- c 2 -(- . . . -j- a $ ~] . 



«Al piano II , del fascio (%) , applichiamo una trasformazione Cremo- 

 niana tale che, nel piano trasformato II', le 2s curve 5^, (f z , ^s^pii^z,-*,^ 

 siano rappresentate, rispettivamente, da 2s curve (p' 1 ,(f' 2 ,...,(f' s ,ip\,ip' 2 ,...,ip' s 

 dotate, unicamente, di punti multipli ordinari, e tali, inoltre, che in un 

 punto comune a due qualsiasi di esse, le tangenti dell'una 

 siano distinte da quelle dell' altra ( 2 ). 



« Attesoché le curve (f L , «/</ sono dello stesso ordine, n% , e di più pos- 

 seggono la stessa singolarità, [<r ( ] , ne consegue, necessariamente, che nel 

 piano 77': 1° le curve corrispoudenti g>'i , ip'i saranno dello stesso ordine, ; 

 2° se una di' esse passa con a rami per un punto, l'altra passerà bensì con 

 a rami per lo stesso punto. Ne segue dunque che, mercè siffatta trasfor- 

 mazione, al fascio (%) = yi . (fi . . . (f s -f~ i ul Pi • V-'-2 • • • V« = 0 , dell'ordine 

 n\-\-%2 -f- ...-\-n s , è possibile far corrispondere un fascio (x') = (p\ . (p' 2 •■• <p\-\- 

 -j- [iip'i . xp' 2 ... ìp' s = 0 , dell'ordine ^1 -j- \i % -j- ... -\~ p. s , dotato : 



1° di un certo numero di punti base semplici, corrispondenti a' punti 



(*) Come avviene, ad esempio, quando nel punto P una retta, una conica, . . . hanno 

 un contatto di ordine 1 0 2 , 4 0 5 , . . . con una curva. 



( 2 ) Cfr. Noether, Weber die singulàren Werthsy steme einer algebraischen Function 

 und die singulàren Punkte einer algebraischen Curve (Math. Annalen, Bd. IX, s. 166) e 

 Bertini, Sopra alcuni teoremi fondamentali delle curve piane algebriche (Eend. del E. 

 Istit. Lombardo, voi. XXI, p. 326-333, 413-424), nel quale recente lavoro l'importante pro- 

 posizione che sopra adoperiamo vi è rigorosamente dimostrata (p. 331). 



