elegantemente una delle più importanti e delicate questioni della geometria 

 del piano ( 1 ). 

 « 2. Siano 



<fl—0, (f 2 — ■ 0 , . . . , (p s = 0 



le equazioni di s curve algebriche, rispettivamente degli ordini 



ognuna delle quali passi in modo qualunque per un punto P del piano. Ciò 



equivale a supporre : 



1° che la curva (pi == 0 (i = 1 , 2 , ... , s) abbia nel punto P una sin- 

 golarità qualunque, ben determinata, [cj ; 



2° che nelle vicinanze del punto P, fra i rami di due curve (f i = 0 , 

 tpj = 0 (dotate rispettivamente delle singolarità [o~ ; ] , [cj ) intervengano, 

 ulteriormente e comunque, dei mutui rapporti di. contatto. 



« Assumiamo un'altra curva ipi = 0 (i = 1 , 2 , ... , s) dell'ordine m , 

 dotata, nel punto P, della singolarità ben determinata [cj , e tale inoltre 

 che nelle vicinanze di questo punto sostituisca identica- 

 mente la curva (fi = 0 nel modo come quest'ultima si com- 

 porta rispetto a ciascuna delle curve g> 1 = 0, (f 2 = 0 , . . , 

 = 0 , (fi-Hi = 0 , . . . , (p s = 0 . 



«Sotto queste ipotesi e condizioni chiamerò singolarità 

 composta [cti -f- a 2 -j- • • • H~ 0 s] quella, ben determinata, che 

 ogni curva 



(4) (x) ==(p l .(p i ....(p s -{-[tìp 1 .tp 2 ... ip s = 0 



possiede nel punto P. 



« Come vedesi, nella definizione di singolarità composta [a^-j-o^-f-— -\-<*s] 

 concorrono : 



1° la natura e la posizione rispettiva delle singolarità componenti 

 [a J , [<r 2 ] , . . . , [cj , esistenti nel punto P ( 2 ) ; 



2° gli ulteriori mutui rapporti di contatto che, nelle vicinanze del 

 punto P, possono supporsi esistere fra i rami di due qualsiasi delle curve date. 



« Siccome ho fatto osservare altrove ( 3 ) può avvenire che, e per la natura 

 della singolarità [e J , e per la sua posizione rispetto a ciascuna delle altre 



( x ) Sur Vmtersection de deux courbes algébriques en un point singulier (Comptes 

 Rendus, t. CVII, n. 17, p. 656). Questa quistione ha promosso importanti lavori sull'elimi- 

 nazione. Fra i geometri che vi hanno portato in modo speciale la propria attenzione citerò 

 Cayley, de la Gournerie, Halphen, Nother, Stolz, Smith, Zeuthen. 



( 2 ) Come caso particolare, due di esse [_gì\ , , identiche per natura, possono coin- 

 cidere. Si dirà allora che le curve <pi,<j>j sono dotate, nel punto P, di una stessa singo- 

 larità [V] ; senza pregiudizio, ben'inteso, degli ulteriori contatti fra i rami dell'una coi 

 rami dell'altra, della quale ipotesi è mestieri tener debito conto in tutte quelle ricerche 

 in cui si parte da curve passanti in modo qualunque per un punto. 



(3) Comptes Eendus, t. CVII, p. 657. 



